NCERT solutions for गणित भाग १ और २ [हिंदी] कक्षा १२ chapter 5 - सांतत्य तथा अवकलनीयता [Latest edition]

सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x − 3, x = 0, x = −3 तथा x = 5 पर संतत है।

x = 3 पर फलन f(x) = 2x² – 1 के सांतत्य की जाँच कीजिए।

निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:

f(x) = x – 5

निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:

f(x) = `1/(x - 5)`, x ≠ 5

निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:

f(x) = `(x^2 - 25)/(x + 5)`, x ≠ −5

निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:

f(x) = |x – 5|

सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xⁿ, x = n, पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।

क्या f(x) = `{(x", यदि"  x<=1),(5", यदि"  x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है?

f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

f(x) = `{(2x + 3", यदि"  x<=2),(2x - 3", यदि"  x > 2):}`

f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

f(x) = `{(|x|+3", यदि"  x<= -3),(-2x", यदि"  -3 < x < 3),(6x + 2", यदि"  x >= 3):}`

f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

f(x) = `{(|x|/x", यदि"  x != 0),(0", यदि"  x = 0):}`

f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

f(x) = `{(x/|x|", यदि"  x<0),(-1", यदि"  x >= 0):}`

f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

f(x) = `{(x+1", यदि"  x>=1),(x^2+1", यदि"  x < 1):}`

f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

f(x) = `{(x^3 - 3", यदि"  x <= 2),(x^2 + 1", यदि"  x > 2):}`

f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

f(x) = `{(x^10 - 1", यदि"  x<=1),(x^2", यदि"  x > 1):}`

क्या f(x) = `{(x+5", यदि"  x<=1),(x - 5", यदि"  x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?

फलन f के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:

f(x) = `{(3", यदि"  0 <= x <= 1),(4", यदि"  1 < x < 3),(5", यदि"  3 <= x <= 10):}`

फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:

f(x) = `{(2x", यदि"  x < 0),(0", यदि"  0 <= x <= 1),(4x", यदि"  x > 1):}`

फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:

f(x) = `{(-2", यदि"  x <= -1),(2x", यदि" -1 < x <= 1),(2", यदि"  x > 1):}`

a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए f(x) = `{(ax + 1", यदि"  x<= 3),(bx + 3", यदि"  x > 3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।

λ के किस मान के लिए f(x) = `{(λ(x^2 - 2x)", यदि"  x le 0), (4x + 1", यदि"  x > 0):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए।

दर्शाइए कि g(x) = x − [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णाक निरूपित करता है, जो x के बराबर या x से कम है।

क्या f(x) = x² − sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?

निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:

f(x) = sin x + cos x

निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:

f(x) = sin x – cos x

निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:

f(x) = sin x × cos x

cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।

f के सभी असांतत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = `{(sinx/x", यदि"  x < 0),(x + 1", यदि"  x >= 0):}`।

निर्धारित कीजिए कि फलन f, f(x) = `{(x^2 sin  1/x", यदि"  x != 0),(0", यदि"  x = 0):}` द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।

f के सांतत्य की जाँच कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:

f(x) = `{(sin x - cos x", यदि"  x != 0),(-1", यदि"  x = 0):}`

k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:

f(x) = `{((kcosx)/(pi-2x)", यदि"  x != pi/2),(3", यदि"  x = pi/2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = `pi/2` पर

k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:

f(x) = `{(kx^2", यदि"  x<= 2),(3", यदि"  x > 2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर

k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:

f(x) = `{(kx +1", यदि"  x<= pi),(cos x", यदि"  x > pi):}` द्वारा परिभाषित फलन x = π पर

k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:

f(x) = `{(kx + 1", यदि"  x <= 5),(3x - 5", यदि"  x > 5):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 5 पर

a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि f(x) = `{(5", यदि"  x <= 2),(ax +b", यदि"  2 < x < 10),(21", यदि"  x >= 10):}` द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।

दर्शाइए कि f(x) = cos (x²) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

जाँचिए कि क्या sin |x| एक संतत फलन है।

f(x) = |x| − |x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असांत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

x के साक्षेप निम्नलिखित फलन का अवकलन कीजिए:

sin (x² + 5)

x के साक्षेप निम्नलिखित फलन का अवकलन कीजिए:

cos (sin x)

x के साक्षेप निम्नलिखित फलन का अवकलन कीजिए:

sin (ax + b)

x के साक्षेप निम्नलिखित फलन का अवकलन कीजिए:

`sec (tan (sqrtx))`

x के साक्षेप निम्नलिखित फलन का अवकलन कीजिए:

`(sin (ax + b))/(cos (cx + d))`

x के साक्षेप निम्नलिखित फलन का अवकलन कीजिए:

cos x³ . sin² (x⁵)

x के साक्षेप निम्नलिखित फलन का अवकलन कीजिए:

`2 sqrt(cot (x^2))`

x के साक्षेप निम्नलिखित फलन का अवकलन कीजिए:

`cos (sqrtx)`

सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = |x − 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।

सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन f(x) = [x], 0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

2x + 3y = sin x

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

2x + 3y = sin y

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

ax + by² = cos y

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

xy + y² = tan x + y

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x² + xy + y² = 100

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x³ + x²y + xy² + y³ = 81

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

sin² y + cos xy = k

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

sin² x + cos² y = 1

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

y = `sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))`

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

y = `tan^-1 ((3x - x^3)/(1 - 3x^2)), - 1/sqrt3 < x < 1/sqrt3`

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

y = `cos^(-1) ((1-x^2)/(1+x^2))`, 0 < x < 1

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

y = `sin^(-1) ((1-x^2)/(1+x^2))`, 0 < x < 1

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

y = `cos^(-1) ((2x)/(1+x^2))`, −1 < x < 1

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

y = `sin^(-1)(2xsqrt(1-x^2)), -1/sqrt2 < x < 1/sqrt2`

निम्नलिखित प्रश्न में `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

y = `sec^(-1) (1/(2x^2 - 1)), 0 < x < 1/sqrt2`

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`e^x/sin x`

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`e^(sin^(-1) x)`

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`e^(x^3)`

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

sin (tan^–1 e^–x)

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

log (cos e^x)

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`e^x + e^(x^2) + "..." + e^(x^5)`

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`sqrt(e^(sqrtx))`, x > 0

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

log (log x), x > 1

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`cos x/log x`, x > 0

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

cos (log x + e^x)

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

cos x . cos 2x . cos 3x

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`sqrt(((x-1)(x-2))/((x-3)(x-4)(x-5)))`

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

(log x)^{cos x}

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

x^x − 2^{sin x}

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

(x + 3)² · (x + 4)³ · (x + 5)⁴

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`(x + 1/x)^x + x^((1 + 1/x))`

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

(log x)^x + x^{log x}

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`(sin x)^x + sin^-1 sqrtx`

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

x^{sin x} + (sin x)^{cos x}

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`x^(x cos x) + (x^2 + 1)/(x^2 - 1)`

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए:

`(x cos x)^x + (x sin x)^(1/x)`

प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x^y + y^x = 1

प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)`  ज्ञात कीजिए:

y^x = x^y

प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

(cos x)^y = (cos y)^x

प्रदत्त फलन के लिए `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

xy = `e^(x - y)`

f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।

(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:

1. गुणनफल नियम का प्रयोग करके।
2. गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके।
3. लघुगणकीय अवकलन द्वारा।

यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।

यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम-गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि `d/dx(u.v.w) = (du)/dx v.w + u. (dv)/dx.w + u.v. (dw)/dx`।

x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x = 2at², y = at⁴

x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x = a cos θ, y = b cos θ

x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x = sin t, y = cos 2t

x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x = 4t, y = `4/t`

x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ

x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x = a (θ – sin θ), y = a (1 + cos θ)

x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

`x = (sin^3t)/sqrt(cos 2t), y = (cos^3t)/sqrt(cos 2t)`

x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x = `a(cos t + log tan  t/2)`, y = a sin t

x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x = a sec θ, y = b tan θ

x तथा y दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में संबंधित हों, तो प्राचलों का विलोपन किए बिना, `bb(dy/dx)` ज्ञात कीजिए:

x = a (cos θ + θ sin θ), y = a (sin θ – θ cos θ)

यदि x = `sqrt(a^(sin^(-1)t))`, y = `sqrt(a^(cos^(-1)t))` तो दर्शाइए कि `dy/dx = - y/x`।

दिए फलन के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

x² + 3x + 2

दिए फलन के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

x²⁰

दिए फलन के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

x . cos x

दिए फलन के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

log x

दिए फलन के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

x³ log x

दिए फलन के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

e^x sin 5x

दिए फलन के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

e^6x cos 3x

दिए फलन के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

tan^–1 x

दिए फलन के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

log (log x)

दिए फलन के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए:

sin (log x)

यदि y = 5 cos x – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि `(d^2 y)/dx^2 + y = 0`।

यदि y = cos^–1 x है तो `(d^2 y)/dx^2` को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।

यदि y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x) है तो दर्शाइए कि x²y₂ + xy₁ + y = 0।

यदि y = Ae^mx + Be^nx  है तो दर्शाइए कि `(d^2y)/dx^2 - (m+ n) (dy)/dx + mny = 0`।

यदि y = 500e^7x + 600e^−7x है तो दर्शाइए कि `(d^2 y)/dx^2` = 49 y है।

यदि e^y (x + 1) = 1 है तो दर्शाइए कि `(d^2y)/dx^2 = (dy/dx)^2` है।

यदि y = (tan^–1 x)² है तो दर्शाइए कि (x² + 1)² y₂ + 2x (x² + 1) y₁ = 2 है।

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

(3x² – 9x + 5)⁹

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

sin³ x + cos⁶ x

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

`(5x)^(3 cos 2x)`

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

`sin^(–1)(xsqrtx), 0 ≤ x ≤ 1`

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

`(cos^(-1)  x/2)/sqrt(2x+7)`, −2 < x < 2

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

`cot^(-1) [(sqrt(1+sinx) + sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx) - sqrt(1-sinx))], 0 < x < pi/2`

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

(log x)^{log x}, x > 1

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

cos (a cos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

`(sin x - cos x)^((sin x - cos x)), pi/4 < x < (3pi)/4`

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

x^x + x^a + a^x + a^a, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।

प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

`x^(x^2-3) + (x - 3)^(x^2), x > 3` के लिए।

यदि y = 12 (1 – cos t), x = 10 (t – sin t), `-pi/2 < t < pi/2` है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।

यदि y = `sin^-1 x + sin^-1 sqrt (1 - x^2)`, 0 < x < 1 है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।

यदि −1 < x < 1 के लिए `xsqrt(1 + y) + y sqrt(1 + x) = 0` है तो सिद्ध कीजिए की `dy/dx = - 1/(1 + x)^2`।

यदि किसी c > 0 के लिए (x – a)² + (y – b)² = c² है तो सिद्ध कीजिए कि `[1+ (dy/dx)^2]^(3/2)/((d^2y)/dx^2)`, a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।

यदि cos y = x cos (a + y) तथा cos a ≠ ±1 है तो सिद्ध कीजिए कि `dy/dx = (cos^2 (a + y))/(sin a)`।

यदि x = a (cos t + t sin t) और y = a (sin t – t cos t) है तो `(d^2y)/dx^2` ज्ञात कीजिए।

यदि f(x) = |x|³ है तो प्रमाणित कीजिए कि f''(x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।

क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।

यदि y = `|(f(x), g(x), h(x)),(l, m, n),(a, b, c)|` है तो सिद्ध कीजिए कि `dy/dx = |(f'(x), g'(x), h'(x)),(l, m, n),(a, b, c)|`।

यदि y = `e^(acos^(-1)x)`, −1 ≤ x ≤ 1 है तो दर्शाइए कि `(1 - x^2) (d^2y)/dx^2 - x dy/dx - a^2 y = 0`।