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प्रश्न
यदि x = a (cos t + t sin t) और y = a (sin t – t cos t) है तो `(d^2y)/dx^2` ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
यहाँ x = a (cos t + t sin t)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dx/dt` = a (−sin t + t · cos t + sin t)
= at cos t
y = a (sin t − t cos t)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dt` = a [cos t − {t (−sin t) + cos t}]
= a {cos t + t sin t − cos t}
= at sin t
`therefore dy/dx = (dy//dt)/(dx//dt)`
= `(at sin t)/(at cos t)`
= tan t
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(d^2y)/dx^2 = d/dx (dy/dx)`
= `d/dt (dy/dx) xx dt/dx`
= `d/dt (tan t) xx dt/dx`
= `sec^2 t xx 1/(at cos t) ...[because dx/dt = at cos t]`
= `1/at sec^3 t`
∴ `(d^2y)/dx^2 = (sec^3 t)/(at), 0 <t <pi/2`
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