Advertisements
Advertisements
प्रश्न
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x – cos x
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए a एक मनमाना वास्तविक संख्या है।
∴ f(a) = sin a – cos a
`lim_(x->a ^+)` f(x) = `lim_(h->0)` sin (a + h) – cos (a + h)
= `lim_(h->0)` [(sin a cos h + cos a sin h) − cos a cos h – sin a sin h]
= sin a cos 0 + cos a sin 0 – cos a cos 0 + sin a sin 0
= sin a (1) + cos a (0) – cos a (1) + sin a (0)
= sin a – cos a
`lim_(x->a^-)` f(x) = `lim_(h->0)` [(sin (a – h) – cos (a – h)]
= `lim_(h->0)` [(sin a cos h – cos a sin h) – (cos a cos h + sin a sin h)]
= sin a – cos a
∴ `lim_(x->a^-)` f(x) = `lim_(x->a^+)` f(x) = f(a)
⇒ f(x) x = a पर संतत है।
∴ f(x) = sin x – cos x सर्वत्र संतत है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
x = 3 पर फलन f(x) = 2x2 – 1 के सांतत्य की जाँच कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n, पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = x – 5
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `(x^2 - 25)/(x + 5)`, x ≠ −5
क्या f(x) = `{(x", यदि" x<=1),(5", यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0, x = 1 तथा x = 2 पर संतत है?
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|+3", यदि" x<= -3),(-2x", यदि" -3 < x < 3),(6x + 2", यदि" x >= 3):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|/x", यदि" x != 0),(0", यदि" x = 0):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x+1", यदि" x>=1),(x^2+1", यदि" x < 1):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^3 - 3", यदि" x <= 2),(x^2 + 1", यदि" x > 2):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^10 - 1", यदि" x<=1),(x^2", यदि" x > 1):}`
क्या f(x) = `{(x+5", यदि" x<=1),(x - 5", यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(2x", यदि" x < 0),(0", यदि" 0 <= x <= 1),(4x", यदि" x > 1):}`
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(-2", यदि" x <= -1),(2x", यदि" -1 < x <= 1),(2", यदि" x > 1):}`
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए f(x) = `{(ax + 1", यदि" x<= 3),(bx + 3", यदि" x > 3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
f के सभी असांतत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = `{(sinx/x", यदि" x < 0),(x + 1", यदि" x >= 0):}`।
निर्धारित कीजिए कि फलन f, f(x) = `{(x^2 sin 1/x", यदि" x != 0),(0", यदि" x = 0):}` द्वारा परिभाषित एक संतत फलन है।
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{((kcosx)/(pi-2x)", यदि" x != pi/2),(3", यदि" x = pi/2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = `pi/2` पर
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{(kx^2", यदि" x<= 2),(3", यदि" x > 2):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि f(x) = `{(5", यदि" x <= 2),(ax +b", यदि" 2 < x < 10),(21", यदि" x >= 10):}` द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
दर्शाइए कि f(x) = cos (x2) द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
जाँचिए कि क्या sin |x| एक संतत फलन है।
यदि y = `sin^-1 x + sin^-1 sqrt (1 - x^2)`, 0 < x < 1 है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।
यदि −1 < x < 1 के लिए `xsqrt(1 + y) + y sqrt(1 + x) = 0` है तो सिद्ध कीजिए की `dy/dx = - 1/(1 + x)^2`।
यदि x = a (cos t + t sin t) और y = a (sin t – t cos t) है तो `(d^2y)/dx^2` ज्ञात कीजिए।
