Advertisements
Advertisements
प्रश्न
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x + cos x
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए a एक मनमाना वास्तविक संख्या है।
∴ f(a) = sin a + cos a
`lim_(x->a^+)` f(x) = `lim_(h->0)` [sin (a + h) + cos (a + h)]
= `lim_(h->0)` [(sin a cos h + cos a sin h) + (cos a cos h − sin a sin h)]
= sin a cos 0 + cos a sin 0 + cos a cos 0 − sin a sin 0
= sin a (1) + cos a (0) + cos a (1) − sin a (0)
= sin a + cos a
`lim_(x->a^-)` f(x) = `lim_(h->0)` [sin (a − h) + cos (a − h)]
= `lim_(h->a^-)` [(sin a cos h - cos a sin h) + (cos a cos h + sin a sin h)]
= sin a + cos a
∴ `lim_(x->a^-)` f(x) = f(a) = `lim_(x->a^+)` f(x)
= f(x) x = a पर संतत है।
∴ f(x) = sin x + cos x सर्वत्र संतत है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x − 3, x = 0, x = −3 तथा x = 5 पर संतत है।
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n, पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
निम्नलिखित फलन की सांतत्य की जाँच कीजिए:
f(x) = `(x^2 - 25)/(x + 5)`, x ≠ −5
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x/|x|", यदि" x<0),(-1", यदि" x >= 0):}`
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^3 - 3", यदि" x <= 2),(x^2 + 1", यदि" x > 2):}`
f के असांतत्य के बिंदु को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(x^10 - 1", यदि" x<=1),(x^2", यदि" x > 1):}`
क्या f(x) = `{(x+5", यदि" x<=1),(x - 5", यदि" x > 1):}` द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है:
f(x) = `{(2x", यदि" x < 0),(0", यदि" 0 <= x <= 1),(4x", यदि" x > 1):}`
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए। जिनके लिए f(x) = `{(ax + 1", यदि" x<= 3),(bx + 3", यदि" x > 3):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
दर्शाइए कि g(x) = x − [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिंदुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णाक निरूपित करता है, जो x के बराबर या x से कम है।
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x – cos x
निम्नलिखित फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए:
f(x) = sin x × cos x
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
f के सभी असांतत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = `{(sinx/x", यदि" x < 0),(x + 1", यदि" x >= 0):}`।
f के सांतत्य की जाँच कीजिए, जहाँ f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(sin x - cos x", यदि" x != 0),(-1", यदि" x = 0):}`
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{(kx +1", यदि" x<= pi),(cos x", यदि" x > pi):}` द्वारा परिभाषित फलन x = π पर
k का मान ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिंदु पर संतत हो:
f(x) = `{(kx + 1", यदि" x <= 5),(3x - 5", यदि" x > 5):}` द्वारा परिभाषित फलन x = 5 पर
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि f(x) = `{(5", यदि" x <= 2),(ax +b", यदि" 2 < x < 10),(21", यदि" x >= 10):}` द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
दर्शाइए कि f(x) = |cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
जाँचिए कि क्या sin |x| एक संतत फलन है।
f(x) = |x| − |x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असांत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
यदि −1 < x < 1 के लिए `xsqrt(1 + y) + y sqrt(1 + x) = 0` है तो सिद्ध कीजिए की `dy/dx = - 1/(1 + x)^2`।
