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प्रश्न
f(x) = |x| − |x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असांत्यता के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
हमारे पास है
f(x) = `{(-x - [-(x + 1)]", यदि" x<-1),(-(x) - (x+1)", यदि" -1 <=x<0),(x - (x+1)", यदि" x>=0):}`
f(x) = `{(1", यदि" x<-1),(-2x-1", यदि" -1 <=x<0),(-1", यदि" x>=0):}`
x = −1 पर
`lim_(x->1^-)` f(x) = 1
`lim_(x->1^+)` f(x) = `lim_(h->0)` (−2 (−1 + h) −1) = 1
f(−1) = −2(−1) − 1 = 1
इस प्रकार, `lim_(x->1^-)` f(x) = `lim_(x->1^+)` f(x) = f(−1)
⇒ f, x = −1 पर संतत है।
x = 0 पर
`lim_(x->0^-)` f(x) = `lim_(x->0^-)` (−2x − 1)
= `lim_(h->0)` (−2(−h) − 1)
= −1
`lim_(x->0^+)` f(x) = −1
साथ ही, f(0) = −1
इस प्रकार, `lim_(x->0^-)` f(x) = `lim_(x->0^+)` f(x) = f(0)
⇒ f, x = 0 पर संतत है।
इसके अलावा, f एक स्थिरांक है, जो x < −1 या x > 0 होने पर संतत होता है।
∴ f सभी x ∈ R के लिए संतत है।
अतः, इसमें असांत्यता का कोई भी बिंदु नहीं है।
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