Question

यदि y = Ae^mx + Be^nx  है तो दर्शाइए कि `(d^2y)/dx^2 - (m+ n) (dy)/dx + mny = 0`।

Answer 1

दिया गया है, y = Ae^mx + Be^nx  ...(1)

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`dy/dx = A d/dx e^(mx) + B d/dx e^(nx)`

= `A e^(mx) d/dx (mx) + B e^(nx) d/dx (nx)`

= Ame^mx + Bne^nx  ...(2)

दोनों पक्षों का पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`(d^2 y)/dx^2 = Amd/dx e^(mx) + Bn d/dx e^(nx)`

= Am²e^mx + Bn²e^nx   ...(3)

बायाँ पक्ष = `(d^2 y)/dx^2 - (m + n) dy/dx + mny`

= Am²e^mx + Bn²e^nx − (m + n) × (Ame^mx + Bne^nx) + mn (Ae^mx + Be^nx)  ...[(1), (2) और (3) का मान प्रतिस्थापित करने पर]

= Ae^mx [m² − m(m + n) + mn] + Be^nx [n² − n (m + n) + mn]

= Ae^mx [m² − m² − mn + mn] + Be^nx [n² − mn − n² + mn]

= Ae^mx × 0 + Be^nx × 0

= 0 = दायाँ पक्ष