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प्रश्न
(x2 – 5x + 8) (x3 + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए:
- गुणनफल नियम का प्रयोग करके।
- गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके।
- लघुगणकीय अवकलन द्वारा।
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
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उत्तर
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके:
मान लीजिए, y = (x2 – 5x + 8) (x3 + 7x + 9)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = (x^2 - 5x + 8) d/dx(x^3 + 7x + 9) + (x^3 + 7x + 9) d/dx (x^2 - 5x + 8)`
= (x2 − 5x + 8) (3x2 + 7) + (x3 + 7x + 9) (2x − 5)
= 3x2 (x2 − 5x + 8) + 7 (x2 − 5x + 8) + 2x (x3 + 7x + 9) − 5 (x3 + 7x + 9)
= 3x4 − 15x3 + 24x2 + 7x2 − 35x + 56 + 2x4 + 14x2 + 18x − 5x3 − 35x − 45
= 5x4 − 20x3 + 45x2 − 52x + 11 ....(1)
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके:
y = (x2 – 5x + 8) (x3 + 7x + 9)
= x2 (x3 + 7x + 9) − 5x (x3 + 7x + 9) + 8 (x3 + 7x + 9)
= x5 + 7x3 + 9x2 − 5x4 − 35x2 − 45x + 8x3 + 56x + 72
= x5 − 5x4 + 15x3 − 26x2 + 11x + 72
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx` = 5x4 − 20x3 + 45x2 − 52x + 11 ...(2)
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा:
मान लीजिए, y = (x2 – 5x + 8) (x3 + 7x + 9)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log (x2 – 5x + 8) + log (x3 + 7x + 9) ...[∵ log (mn) = log m + log n]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/y dy/dx = 1/(x^2 - 5x + 8) d/dx (x^2 - 5x + 8) + 1/(x^3 + 7x + 9) d/dx (x^3 + 7x + 9)`
= `(2x - 5)/(x^2 - 5x + 8) + (3x^2 + 7)/(x^3 + 7x + 9)`
= `((2x - 5)(x^3 + 7x + 9) + (3x^2 + 7) (x^2 - 5x + 8))/((x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9))`
`therefore dy/dx = y [(2x (x^3 + 7x + 9) - 5 (x^3 + 7x + 9) + 3x^2 (x^2 - 5x + 8) + 7 (x^2 - 5x + 8))/((x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9))]`
= `(x^2 - 5x + 8) (x^3 + 7x + 9) [(2x^4 + 14x^2 + 18x - 5x^3 - 35x - 45 + 3x^4 - 15x^3 + 24x^2 + 7x^2 - 35x + 56)/((x^2 - 5x + 8)(x^3 + 7x + 9))]`
= 5x4 − 20x3 + 45x2 − 52x + 11 ...(3)
समीकरण (1), (2) और (3) से स्पष्ट है कि `dy/dx` के मान समान हैं।
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