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Solutions for Chapter 10: सदिश बीजगणित
Below listed, you can find solutions for Chapter 10 of CBSE NCERT for गणित भाग १ और २ [हिंदी] कक्षा १२.
NCERT solutions for गणित भाग १ और २ [हिंदी] कक्षा १२ 10 सदिश बीजगणित प्रश्नावली 10.1 [Pages 353 - 354]
उत्तर से 30° पूर्व में 40 km के विस्थापन का आलेखीय निरूपण कीजिए।
निम्नलिखित माप को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
10 kg
निम्नलिखित माप को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
2 मीटर उत्तर-पश्चिम
निम्नलिखित माप को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
40°
निम्नलिखित माप को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
40 वाट
निम्नलिखित माप को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
10-19 कूलंब
निम्नलिखित माप को अदिश एवं सदिश के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
20 m/s2
निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशि के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
समय कालांश
निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशि के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
दूरी
निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशि के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
बल
निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशि के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
वेग
निम्नलिखित को अदिश एवं सदिश राशि के रूप में श्रेणीबद्ध कीजिए।
कार्य
आकृति (एक वर्ग) में निम्नलिखित सदिश को पहचानिए।
सह - आदिम
आकृति (एक वर्ग) में निम्नलिखित सदिश को पहचानिए।
समान
आकृति (एक वर्ग) में निम्नलिखित सदिश को पहचानिए।
संरेख परंतु असमान
निम्नलिखित का उत्तर सत्य अथवा असत्य के रूप में दीजिए।
`veca` तथा `-veca` संरेख हैं।
सत्य
असत्य
दो संरेख सदिशों का परिणाम सदैव समान होता है।
सत्य
असत्य
समान परिमाण वाले दो सदिश संरेख होते हैं।
सत्य
असत्य
समान परिमाण वाले दो संरेख सदिश समान होते हैं।
सत्य
असत्य
NCERT solutions for गणित भाग १ और २ [हिंदी] कक्षा १२ 10 सदिश बीजगणित प्रश्नावली 10.2 [Pages 364 - 365]
निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए:
`veca = hati + hatj + hatk; vecb = 2hati - 7hatj - 3hatk; vecc = 1/sqrt3hati + 1/sqrt3hatj - 1/sqrt3hatk`
समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
x और y के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश `2hati + 3hatj` और `xhati + yhatj` समान हों।
एक सदिश का प्रारंभिक बिंदु (2, 1) है और अंतिम बिंदु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
सदिश `veca = hati - 2hatj + hatk, vecb = -2hati + 4hatj + 5hatk` और `vecc = hati - 6hatj - 7hatk` का योगफल ज्ञात कीजिए।
सदिश `veca = hati + hatj + 2hatk` के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
सदिश `vec(PQ)`, के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6) हैं।
दिए हुए सदिशों `veca = 2hati - hatj + 2hatk` और `vecb = -hati + hatj - hatk`, के लिए, सदिश `veca + vecb` के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
सदिश `5hati - hatj + 2hatk` के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
दर्शाइए कि सदिश `2hati - 3hatj + 4hatk` और `-4hati + 6hatj - 8hatk` संरेख हैं।
सदिश `hati + 2hatj + 3hatk` की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।
बिंदुओं A(1, 2, -3) एवं B(-1, -2, 1) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ़ दिष्ट सदिश की दिक् cosine ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि सदिश `hati + hatj + hatk` अक्षों OX, OY एवं OZ के साथ बराबर झुका हुआ है।
बिंदुओं `P(hati + 2hatj - hatk)` और `Q(-hati + hatj + hatk)` को मिलाने वाली रेखा को 2:1 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
बिंदुओं `P(hati + 2hatj - hatk)` और `Q(-hati + hatj + hatk)` को मिलाने वाली रेखा को 2:1 के अनुपात में बाह्य, विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
दो बिंदुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, -2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि बिंदु A, B और C, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः `veca = 3hati - 4hatj - 4hatk, vecb = 2hati - hatj +hatk` और `vecc = hati - 3hatj - 5hatk` हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
त्रिभुज ABC, आकृति के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है।
`vec(AB) + vec(BC) + vec(CA) = vec 0`
`vec(AB) + vec(BC) - vec(AC) = vec 0`
`vec(AB) + vec(BC) - vec(CA) = vec 0`
`vec(AB) - vec(CB) + vec(CA) = vec 0`
यदि `veca` और `vecb` दो संरेख सदिश हैं तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है:
`vecb = lambdaveca`, किसी अदिश λ के लिए
`veca = pm vecb`
`veca` और `vecb` के क्रमागत घटक समानुपाती नहीं हैं।
दोनों सदिशों `veca` तथा `vecb` की दिशा समान है परंतु परिमाण विभिन्न हैं।
NCERT solutions for गणित भाग १ और २ [हिंदी] कक्षा १२ 10 सदिश बीजगणित प्रश्नावली 10.3 [Pages 371 - 372]
दो सदिशों `veca` तथा `vecb` के परिमाण क्रमशः `sqrt3` एवं 2 हैं और `veca . vecb = sqrt6` है तो `veca` तथा `vecb` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
सदिशों `hati - 2hatj + 3hatk` और `3hati - 2hatj + hatk` के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
सदिश `hati + hatj` पर सदिश `hati - hatj` का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
सदिश `hati + 3hatj + 7hatk` का, सदिश `7hati - hatj + 8hatk` पर का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है,
`1/7(2hati + 3hatj + 6hatk), 1/7(3hati - 6hatj + 2hatk), 1/7(6hati + 2hatj - 3hatk)`
यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक दूसरे के लंबवत् हैं।
यदि `(veca + vecb).(veca - vecb) = 8` और `|veca| = 8|vecb|` हो तो `|veca|` एवं `|vecb|` ज्ञात कीजिए।
`(3veca - 5vecb) . (2veca + 7vecb)` का मान ज्ञात कीजिए।
दो सदिशों `veca` और `vecb` के परिमाण ज्ञात कीजिए, यदि इनके परिमाण समान है और इन के बीच का कोण 60° है तथा इनका अदिश गुणनफल `1/2` है।
यदि एक मात्रक सदिश `veca`, के लिए `(vecx - veca) * (vecx + veca) = 12` हो तो `|vecx|` ज्ञात कीजिए।
यदि `veca = 2hati + 2hatj + 3hatk, vecb = -hati +2hatj + hatk` और `vecc = 3hati + hatj` इस प्रकार है कि `veca + λvecb, vecc` पर लंब है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि दो शून्येतर सदिशों `veca` और `vecb` के लिए `|veca| vecb + |vecb| veca, |veca| vecb - |vecb| veca` पर लंब है।
यदि `veca . veca = 0` और `veca . vecb = 0` तो सदिश `vecb` के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
यदि `veca, vecb, vecc` मात्रक सदिश इस प्रकार है कि `veca + vecb + vecc = vec0` तो `veca . vecb + vecb . vecc + vecc . veca` का मान ज्ञात कीजिए।
यदि `veca = vec0` अथवा `vecb = vec0`, तब `veca . vecb = 0` परंतु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
यदि किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A, B, C क्रमशः (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2) हैं तो ∠ABC ज्ञात कीजिए | [∠ABC, सदिशों `vec(BA)` एवं `vec(BC)` के बीच का कोण है]
दर्शाइए कि बिंदु A(1, 2, 7), B(2, 6, 3) और C(3, 10, -1) संरेख हैं।
दर्शाइए कि सदिश `2hati - hatj + hatk, hati - 3hatj - 5hatk` और `3hati - 4hatj - 4hatk` एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
यदि शून्येतर सदिश `veca` का परिणाम 'a' है और λ एक शून्येतर अदिश है तो `λveca` एक मात्रक सदिश है यदि ______.
λ = 1
λ = -1
a = |λ|
`a = 1/|λ|`
NCERT solutions for गणित भाग १ और २ [हिंदी] कक्षा १२ 10 सदिश बीजगणित प्रश्नावली 10.4 [Page 378]
यदि `veca = hati - 7hatj + 7hatk` और `vecb = 3hati - 2hatj + 2hatk` तो `|veca xx vecb|` ज्ञात कीजिए।
सदिश `vec a + vec b` और `veca - vecb` की लंब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ `veca = 3hati + 2hatj + 2hatk` और `vecb = hati + 2hatj - 2hatk` है।
यदि एक मात्रक सदिश `veca, hati` के साथ `pi/3, hatj` के साथ `pi/4` और `hatk` के साथ एक न्यून कोण θ बनाता है तो θ का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से `veca` के घटक भी ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि `(veca - vecb) xx (veca + vecb) = 2(veca xx vecb)`
λ और μ ज्ञात कीजिए, यदि `(2hati + 6hatj + 27hatk) xx (hati + lambdahatj + muhatk) = vec0`
दिया हुआ है की `veca.vecb = 0` और `veca xx vecb = vec0.` सदिश `veca` और `vecb` के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?
मान लीजिए सदिश `veca, vecb, vecc` क्रमश: `a_1 hati + a_2hatj + a_3hatk, b_1hati + b_2hatj + b_3hatk, c_1hati + c_2hatj + c_3hatk` के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए की `veca xx (vecb + vecc) = veca xx vecb + veca xx vecc`
यदि `veca = vec0` अथवा `vecb = vec0` तब `veca xx vecb = vec0` होता है। क्या विलोम सत्य है? उदाहरण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) और C(1, 5, 5) हैं।
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश `veca = hati - hatj + 3hatk` और `vecb = 2hati - 7hatj + hatk` द्वारा निर्धारित हैं।
मान लीजिए सदिश `veca` और `vecb` इस प्रकार हैं की `|veca| = 3` और `|vecb| = sqrt2/3`, तब `veca xx vecb` एक मात्रक सदिश है यदि `veca` और `vecb` के बीच का कोण है:
`pi/6`
`pi/4`
`pi/3`
`pi/2`
एक आयत के शीर्षों A, B, C और D जिनके स्थिति सदिश क्रमश: `-hati + 1/2hatj + 4hatk, hati + 1/2hatj + 4hatk, hati - 1/2hatj + 4hatk` और `-hati - 1/2hatj + 4hatk,` हैं का क्षेत्रफल है:
`1/2`
1
2
4
NCERT solutions for गणित भाग १ और २ [हिंदी] कक्षा १२ 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली [Pages 381 - 383]
XY-तल में, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए।
बिंदु P(x1, y1, z1) और Q(x2, y2, z2) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।
एक लड़की पश्चिम दिशा में 4 km चलती है। उसके पश्चात् वह उत्तर से 30° पश्चिम की दिशा में 3 km चलती है और रूक जाती है। प्रस्थान के प्रारंभिक बिंदु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।
यदि `veca = vecb + vecc`, तब क्या यह सत्य है कि `|veca|= |vecb| + |vecc|`? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए `x(hati + hatj + hatk)` एक मात्रक सदिश है।
सदिशों `veca = 2hati + 3hatj - hatk` और `vecb = hati - 2hatj + hatk` के परिणामी के समांतर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 5 इकाई है।
यदि `veca = hati + hatj + hatk, vecb = 2hati - hatj + 3hatk` और `vecc = hati - 2hatj + 3hatk`, तो सदिश `2veca - vecb + 3vecc` के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि बिंदु A(1, -2, -8), B(5, 0, -2) और C(11, 3, 7) संरेख है और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
दो बिंदुओं `P(2veca + vecb)` और `Q(veca - 3vecb)` को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात मे बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिंदु P रेखाखंड RQ का मध्य बिंदु है।
एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ `2hati - 4hatj + 5hatk` और `hati - 2hatj - 3hatk` हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन कोज्याएँ `±(1/sqrt3, 1/sqrt3, 1/sqrt3)` है।
मान लीजिए `veca = hati + 4hatj + 2hatk, vecb = 3hati - 2hatj + 7hatk` और `vecc = 2hati - hatj + 4hatk`, एक ऐसा सदिश `vecd` ज्ञात कीजिए जो `veca` और `vecb` दोनों पर लांब है और `vecc.vecd = 15`.
सदिश `hati + hatj + hatk` का, सदिशों `2hati + 4hatj - 5hatk` और `lambdahati + 2hatj + 3hatk` के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
यदि `veca, vecb, vecc` समान परिमाणों वाले परस्पर लंबवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश `veca + vecb + vecc` सदिशों `veca, vecb` तथा `vecc` के साथ बराबर झुका हुआ है।
सिद्ध कीजिए कि `(veca + vecb) . (veca + vecb) = |veca|^2 + |vecb|^2`, यदि और केवल यदि `veca,vecb` लंबवत् हैं। यह दिया हुआ है कि `veca ≠ vec0, vecb ≠ vec0.`
16 से 19 तक के प्रश्नों में सही उत्तर का चयन कीजिए।
यदि दो सदिशों `veca` और `vecb` के बीच का कोण θ है तो `veca.vecb ≥ 0` होगा यदि ______:
`0 < θ < pi/2`
`0 ≤ θ ≤ pi/2`
`0 < θ < pi`
`0 ≤ θ ≤ pi`
मान लीजिए `veca` और `vecb` दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण θ है तो `veca + vecb` एक मात्रक सदिश है यदि ______.
`theta = pi/4`
`theta = pi/3`
`theta = pi/2`
`theta = (2pi)/3`
`hati.(hatj xx hatk) + hatj.(hati xx hatk) + hatk.(hati xx hatj)` का मान है।
0
-1
1
3
यदि दो सदिशों `veca` और `vecb` के बीच का कोण θ है तो `|veca . vecb| = |veca xx vecb|` जब θ बराबर है:
0
`pi/4`
`pi/2`
π
Solutions for 10: सदिश बीजगणित
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