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प्रश्न
f के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है:
f(x) = `{(|x|+3", यदि" x<= -3),(-2x", यदि" -3 < x < 3),(6x + 2", यदि" x >= 3):}`
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उत्तर
f(x) = `{(|x|+3", यदि" x<= -3),(-2x", यदि" -3 < x < 3),(6x + 2", यदि" x >= 3):}`
⇒ x = −3 पर,
`lim_(x -> 3^-)` f(x) = `lim_(x -> 3^-)` (|x| + 3)
= `lim_(h -> 0)` [|−3 − h| + 3]
= `lim_(h -> 0)` (6 + h)
= 6 + 0
= 6
`lim_(x -> 3^+)` f(x) = `lim_(x -> 3^+)` (−2x)
= `lim_(h -> 0)` [−2 (−3 + h)]
= `lim_(h -> 0)` (6 − 2h)
= 6 − 2 × 0
= 6
अत: x = −3 पर f संतत है।
⇒ x = 3 पर,
`lim_(x -> 3^-)` f(x) = `lim_(x -> 3^-)` (−2x)
= `lim_(h -> 0)` [−2 (3 − h)]
= `lim_(h -> 0)` (−6 + 2h)
= −6 + 2 × 0
= −6
`lim_(x -> 3^+)` f(x) = `lim_(x -> 3^+)` (6x + 2)
= `lim_(h -> 0)` [6(3 + h) + 2]
= `lim_(h -> 0)` (18 + 6h + 2)
= `lim_(h -> 0)` (20 + 6h)
= 20 + 6 × 0
= 20
अत: x = 3 पर f संतत नहीं है।
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