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प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
xx + xa + ax + aa, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
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उत्तर
मान लीजिए, y = xx + xa + ax + aa
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = d/dx (x^x) + d/dx (x^a) + d/dx (a^x) + (a^a) d/dx (1)`
= `d/dx (x^x) + ax^(a - 1) + a^x log a + 0` ...(1)
मान लीजिए, u = xx
दोनों पक्षों का लघुगणक लेते हुए,
log u = x log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/u (du)/dx = x d/dx log x + log x d/dx (x)`
= `x * 1/x + log x`
= (1 + log x)
∴ `(du)/dx` = u (1 + log x)
= xx (1 + log x)
अर्थात `d/dx (x^x) = (du)/dx`
= xx (1 + log x)
`d/dx (x^x)` का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`dy/dx` = xx (1 + log x) + axa − 1 + ax log a
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x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:(|x|cos 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 1 पर f(x) = `{{:(x^2/2",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(2x^2 - 3x + 3/2",", "यदि" 1 < x ≤ 2):}`
x = 5 पर f(x) = `{{:(3x - 8",", "यदि" x ≤ 5),(2"k"",", "यदि" x > 5):}`
दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
`8^x/x^8`
sinn (ax2 + bx + c)
sinmx . cosnx
`sin xy + x/y` = x2 – y
tan–1(x2 + y2) = a
(x2 + y2)2 = xy
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
[0, 1] में f(x) = x(x – 1)2
[– 2, 2] में f(x) = `sqrt(4 - x^2)`
वक्र y = (x – 3)2 पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा (3, 0) और (4, 1) बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर हो।
फलन f(x) = `"e"^|x|`
यदि f(x) = |cosx – sinx| है तो `"f'"(pi/3)` = ______
