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प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
xx + xa + ax + aa, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
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उत्तर
मान लीजिए, y = xx + xa + ax + aa
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = d/dx (x^x) + d/dx (x^a) + d/dx (a^x) + (a^a) d/dx (1)`
= `d/dx (x^x) + ax^(a - 1) + a^x log a + 0` ...(1)
मान लीजिए, u = xx
दोनों पक्षों का लघुगणक लेते हुए,
log u = x log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/u (du)/dx = x d/dx log x + log x d/dx (x)`
= `x * 1/x + log x`
= (1 + log x)
∴ `(du)/dx` = u (1 + log x)
= xx (1 + log x)
अर्थात `d/dx (x^x) = (du)/dx`
= xx (1 + log x)
`d/dx (x^x)` का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`dy/dx` = xx (1 + log x) + axa − 1 + ax log a
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दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
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sinmx . cosnx
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रोले के प्रमेय का प्रयोग करते हुए वक् y = x (x – 4), x Î [0, 4] पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
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यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
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