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Question
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
xx + xa + ax + aa, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
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Solution
मान लीजिए, y = xx + xa + ax + aa
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = d/dx (x^x) + d/dx (x^a) + d/dx (a^x) + (a^a) d/dx (1)`
= `d/dx (x^x) + ax^(a - 1) + a^x log a + 0` ...(1)
मान लीजिए, u = xx
दोनों पक्षों का लघुगणक लेते हुए,
log u = x log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/u (du)/dx = x d/dx log x + log x d/dx (x)`
= `x * 1/x + log x`
= (1 + log x)
∴ `(du)/dx` = u (1 + log x)
= xx (1 + log x)
अर्थात `d/dx (x^x) = (du)/dx`
= xx (1 + log x)
`d/dx (x^x)` का मान समीकरण (1) में रखने पर,
`dy/dx` = xx (1 + log x) + axa − 1 + ax log a
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अचर k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f ] x = 0 पर संतत हो, जहाँ f(x) = `{{:((1 - cos4x)/(8x^2)",", x ≠ 0),("k"",", x = 0):}` है।
यदि x = a sec3θ और y = a tan3θ है, तो θ = `pi/3` पर `("d"y)/("d"x)` ज्ञात कीजिए।
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x = 4 पर f(x) = `{{:(|x - 4|/(2(x - 4))",", "यदि" x ≠ 4),(0",", "यदि" x = 4):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
x = 2 पर, f(x) = `{{:(1 + x",", "यदि" x ≤ 2),(5 - x",", "यदि" x > 2):}`
`log [log(logx^5)]`
sinn (ax2 + bx + c)
`cos(tan sqrt(x + 1))`
`sin^-1 1/sqrt(x + 1)`
(x + 1)2(x + 2)3(x + 3)4
`tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 + x^2) - sqrt(1 - x^2))), -1 < x < 1, x ≠ 0`
x = `"t" + 1/"t"`, y = `"t" - 1/"t"`
यदि x = 3sint – sin 3t और y = 3cost – cos 3t तो t = `pi/3` पर `"dy"/"dx"` ज्ञात कीजिए।
`sin xy + x/y` = x2 – y
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
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यदि y = tan–1x, तो केवल y के पदों में `("d"^2y)/("dx"^2)` ज्ञात कीजिए।
[–3, 0] में f(x) = `x(x + 3)e^((–x)/2)`
[1, 5] में f(x) = `sqrt(25 - x^2)`
मान लीजिए f(x) = |sin x| है, तब
यदि x = t2 और y = t3 है, तो `("d"^2"y")/("dx"^2)` है।
