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Question
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(sin x - cos x)^((sin x - cos x)), pi/4 < x < (3pi)/4`
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Solution
मान लीजिए, y = `(sin x- cos x)^((sin x – cos x))`
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर,
log y = log (sin x – cos x) (sin x – cos x)
log y = (sin x – cos x) log (sin x – cos x) ...[∵ log mn = n log m]
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`1/y dy/dx = (sin x - cos x) d/dx log (sin x - cos x) + log (sin x - cos x) d/dx (sin x - cos x)`
= `(sin x - cos x) xx 1/(sin x - cos x) d/dx (sin x - cos x) + log (sin x - cos x)(cos x + sin x)`
= (cos x + sin x) [1 + log (sin x − cos x)]
∴ `dy/dx` = y (cos x + sin x) [1 + log (sin x − cos x)]
= `(sin x - cos x)^((sin x - cos x)) (cos x + sin x)[1 + log (sin x- cos x)]`, sin x > cos x
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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(3x2 – 9x + 5)9
अचर k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f ] x = 0 पर संतत हो, जहाँ f(x) = `{{:((1 - cos4x)/(8x^2)",", x ≠ 0),("k"",", x = 0):}` है।
फलन f(x) = sin x . cos x के सांतत्य की चर्चा कीजिए।
यदि y = `tan^-1 ((3x - x^3)/(1 - 3x^2)), -1/sqrt(3) < x < 1/sqrt(3)` है, तो `("d"y)/("d"x)` ज्ञात कीजिए।
यदि x = a sec3θ और y = a tan3θ है, तो θ = `pi/3` पर `("d"y)/("d"x)` ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
फलन f(x) = [x], जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है, निम्नलिखित पर संतत है।
k का वह मान, जो f(x) = `{{:(sin 1/x",", "if" x ≠ 0),("k"",", "if" x = 0):}` द्वारा परिभाषित फलन को x = 0 पर संतत बना दे,
यदि u = `sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))` और v = `tan^-1 ((2x)/(1 - x^2))`, है, तो `"du"/"dv"` है
फलन f(x) = e x sinx, x ∈ π [0, π] के लिए, रोले के प्रमेय में c का मान है
उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ फलन f(x) = `1/(log|x|)` असंतत है, ______ है।
फलन f(x) = x3 + 2x2 – 1 को x = 1 पर संततता की जाँच कौजिए।
x = 0 पर f(x) = `{{:(|x|cos 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 0 पर, f(x) = `{{:(x^2 sin 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
दर्शाइए कि x = 5 पर, f(x) = |x – 5| संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।
`log (x + sqrt(x^2 + "a"))`
`sin sqrt(x) + cos^2 sqrt(x)`
sinn (ax2 + bx + c)
`cos^-1 ((sinx + cosx)/sqrt(2)), (-pi)/4 < x < pi/4`
x = `"t" + 1/"t"`, y = `"t" - 1/"t"`
x = 3cosθ – 2cos3θ, y = 3sinθ – 2sin3θ
x = `(1 + log "t")/"t"^2`, y = `(3 + 2 log "t")/"t"`
यदि x = ecos2t और y = esin2t तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (-y log x)/(xlogy)` है।
tan–1(x2 + y2) = a
यदि yx = ey – x तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (1 + log y)^2/logy`
रोले के प्रमेय का प्रयोग करते हुए वक् y = x (x – 4), x Î [0, 4] पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
यदि f(x) = `x^2 sin 1/x` जहाँ x ≠ 0 तो x = 0 पर फलन f का मान निम्नलिखित होगा यदि यह फलन x = 0 संतत है।
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