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Question
एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।
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Solution
दिया गया है, f: R → R सभी x, y ∈ R, f(x) ≠ 0 के लिए समीकरण f( x + y) = f(x) f(y) को संतुष्ट करता है।
आइए हम कोई ऐसा बिंदु x = 0 लें, जिस पर फलन f(x) अवकलनीय हो।
∴ f'(0) = `lim_("h" -> 0) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`
2 = `lim_("h" -> 0) ("f"(0) * "f"("h") - "f"(0))/"h"` ......[∵ f(0) = f(h)] ....(i)
⇒ 2 = `lim_("h" -> 0) ("f"(0)["f"("h") - 1])/"h"`
अब f'(x) = `lim_("h" -> 0) ("f"(x + "h") - "f"(x))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ("f"(x) * "f"("h") - "f"(x))/"h"` .....[∵ f(x + y) = f(x) . f(y)]
= `lim_("h" -> 0) ("f"(x)["f"("h") - 1])/"h"`
= 2f(x)
समीकरण (i) से
इसलिए, f'(x) = 2f(x)
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फलन f(x) = sin x . cos x के सांतत्य की चर्चा कीजिए।
f(x) = `1/(x - 1)` दिया है। संयोजित फलन y = f [f(x)] में असंतत के बिंदु ज्ञात कीजिए।
`sqrttan sqrt(x)` को x के सापेक्ष अवकलित कीजिए।
यदि ex + ey = ex+y दिया है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"y)/("d"x) = -"e"^(y - x)` है।
फलन f (x) = x (x – 2), x ∈ [1, 2] के लिए, माध्य मान प्रमेय में c का मान है
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
x के सापेक्ष log10 का अवकलज ______ है।
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x = 0 पर f(x) = `{{:(|x|cos 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 5 पर f(x) = `{{:(3x - 8",", "यदि" x ≤ 5),(2"k"",", "यदि" x > 5):}`
x = `(1 + log "t")/"t"^2`, y = `(3 + 2 log "t")/"t"`
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tan–1(x2 + y2) = a
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यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
[–3, 0] में f(x) = `x(x + 3)e^((–x)/2)`
f(x) = `{{:(x^2 + 1",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(3 - x",", "यदि" 1 ≤ x ≤ 2):}` द्वारा दिए जाने वाले फलन पर रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगता पर चर्चा कीजिए।
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यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
फलन f(x) = `x + 1/x`, x ∈ [1, 3] के लिए, माध्य मान प्रमेय में c का मान है।
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