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Question
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`cot^(-1) [(sqrt(1+sinx) + sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx) - sqrt(1-sinx))], 0 < x < pi/2`
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Solution
मान लीजिए, y = `cot^-1[(sqrt(1 + sin x) + sqrt(1 - sin x))/(sqrt(1 + sin x) - sqrt(1 - sin x))]`
अब, 1 + sin x = `sin^2 x/2 + cos^2 x/2 + 2 sin x/2 cos x/2`
= `(cos x/2 + sin x/2)`
∴ `sqrt(1 + sin x) = cos x/2 + sin x/2`
इसी प्रकार,
`sqrt(1 + sin x) = cos x/2 + sin x/2`
y = `cot^-1 [((cos x/2 + sin x/2) + (cos x/2 - sin x/2))/((cos x/2 + sin x/2) - (cos x/2 + sin x/2))]`
= `cot^-1 [(cos x/2 + sin x/2 + cos x/2 - sin x/2)/(cos x/2 + sin x/2 - cos x/2 + sin x/2)]`
= `cot^-1 [(2 cos x/2)/(2 sin x/2)]`
= `cot^-1 (cot x/2)`
y = `x/2`
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`dy/dx = 1/2 * d/dx (x)`
= `1/2`
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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
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फलन f (x) = x (x – 2), x ∈ [1, 2] के लिए, माध्य मान प्रमेय में c का मान है
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
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(a) |x| |
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(d) असत्य |
x के सापेक्ष log10 का अवकलज ______ है।
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x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
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x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}` से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
x = 0 पर, f(x) = `{{:(x^2 sin 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
`sin sqrt(x) + cos^2 sqrt(x)`
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