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Question
f(x) = `{{:(2x + 3",", "if" -3 ≤ x < - 2),(x + 1",", "if" -2 ≤ x < 0),(x + 2",", "if" 0 ≤ x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
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Solution
f(x) की अवकलनीयता के संदेहास्पद बिंदु केवल x = – 2 और x = 0 हैं।
x = – 2 पर अवकलनीयता के लिए:
अब Lf'(–2) = `lim_("h" -> 0) ("f"(-2 + "h") "f"(-2))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) (2(-2 + "h") + 3 - (-2 + 1))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) (2"h")/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) 2`
= 2
तथा Rf'(–2) = `lim_("h" -> 0^+) ("f"(-2 + "h") - "f"(-2))/"h"`
= `lim_("h" ->0^+) (-2 + "h" + 1 - (-2 + 1))/"h"`
= `lim_("h" ->0^+) ("h" - 1 - (-1))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^+) "h"/"h"`
= 1
इस प्रकार, R f′(–2) ≠ Lf′(–2).
अत:, x = – 2 पर, f अवकलनीय नहीं है।
इसी प्रकार, x = 0 पर फलन की अवकलनीयता के लिए, हमें
Lf'(0) = `lim_("h" -> 0^-) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) (0 + "h" + 1 - (0 + 2))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) ("h" - 1)/"h"`
= `lim_("h" ->0^-) (1 - 1/"h")`
जिसका अस्तित्व नहीं है।
अतः, x = 0 पर फलन अवकलनीय नहीं है।
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