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Question
[–1, 1] में f(x) = log(x2 + 2) – log3
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Solution
हमारे पास, f(x) = log(x2 + 2) – log3
हम जानते हैं कि x2 + 2 और लघुगणक फलन संतत और अवकलनीय हैं
∴ f(x) = log(x2 + 2) – log3 भी संतत और अवकलनीय है।
अब f(–1) = f(1) = log3 - log3 = 0
अतः रोले के प्रमेय की शर्तें संतुष्ट हैं।
इसलिए, कम से कम एक c ∈ (–1, 1) ऐसा मौजूद है कि f'(c) = 0
f(x) = `(2"c")/("c"^2 + 2) - 0` = 0
⇒ c = 0 ∈ (–1, 1)
इसलिए, रोले की प्रमेय की पुष्टि हो गई है।
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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
sin3 x + cos6 x
f(x) = `1/(x - 1)` दिया है। संयोजित फलन y = f [f(x)] में असंतत के बिंदु ज्ञात कीजिए।
यदि x = a sec3θ और y = a tan3θ है, तो θ = `pi/3` पर `("d"y)/("d"x)` ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
उन बिंदुओं की संख्या जिन पर फलन f(x) = `1/(x - [x])` संतत नहीं है,
उन बिंदुओं का सम्मुच्चय, जहाँ f(x) = |x – 3| cosx द्वारा दिया जाने वाला फलन अवकलनीय है,
यदि u = `sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))` और v = `tan^-1 ((2x)/(1 - x^2))`, है, तो `"du"/"dv"` है
यदि y = `sec^-1 ((sqrt(x) + 1)/(sqrt(x + 1))) + sin^-1((sqrt(x) - 1)/(sqrt(x) + 1))` है, तो `"dy"/"dx"` = ______ है।
cos x के सापेक्ष sin x का अवकलज ______ है।
एक संतत फलन में कुछ ऐसे बिंदु हो सकते हैं जहाँ सीमाओं का अस्तित्व न हों।
x = 2 पर f(x) = `{{:(3x + 5",", "यदि" x ≥ 2),(x^2",", "यदि" x < 2):}`
x=0 पर f(x) = `{{:((1 - cos 2x)/x^2",", "यदि" x ≠ 0),(5",", "यदि" x = 0):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:(|x|cos 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 5 पर f(x) = `{{:(3x - 8",", "यदि" x ≤ 5),(2"k"",", "यदि" x > 5):}`
फलन f(t) = `1/("t"^2 + "t" - 2)`, की असंततता के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए, जहाँ t = `1/(x - 1)` है।
दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
`cos(tan sqrt(x + 1))`
x = 3cosθ – 2cos3θ, y = 3sinθ – 2sin3θ
sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
tan–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.
(x2 + y2)2 = xy
यदि x = `"e"^(x/y)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (x - y)/(xlogx)`
यदि x sin (a + y) + sin a cos (a + y) = 0 तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (sin^2("a" + y))/sin"a"`
[1, 5] में f(x) = `sqrt(25 - x^2)`
p और q के ऐसे मान ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` बिंदु x = 1 पर अवकलनीय हो।
फलन f(x) = `x + 1/x`, x ∈ [1, 3] के लिए, माध्य मान प्रमेय में c का मान है।
[0, 2] में फलन f(x) = |x – 1| के लिए, रोले का प्रमेय प्रयुक्त है।
