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Question
p और q के ऐसे मान ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` बिंदु x = 1 पर अवकलनीय हो।
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Solution
दिया गया है कि: f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` x = 1 पर
L.H.L. f'(c) = `lim_(x -> 1^-) ("f"(x) - "f"("c"))/(x - "c")`
⇒ f'(1) = `lim_(x -> 1^-) ("f"(x) - "f"(1))/(x - 1)`
= `lim_(x -> 1^-) ((x^2 + 3x + "p") - (1 + 3 + "p"))/(x - 1)`
= `lim_("h" -> 0) ([(1 - "h")^2 + 3(1 - "h") + "p"] - [4 + "p"])/(1 - "h" - 1)`
= `lim_("h" -> 0) ([1 + "h"^2 - 2"h" + 3 - 3"h" + "p"] - [4 + "p"])/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) (["h"^2 - 5"h" + 4 + "p"] - [4 + "p"])/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ("h"^2 - 5"h" + 4 + "p" - 4 - "p")/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ("h"^2 - 5"h")/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ("h"["h" - 5])/(-"h")`
= 5
R.H.L. f'(1) = `lim_(x -> 1^+) ("f"(x) - "f"(1))/(x - 1)`
= `lim_(x -> 1^+) (("q"x + 2) - (1 + 3 + "p"))/(x - 1)`
= `lim_("h" -> 0) (["q"(1 + "h") + 2] - [4 + "p"])/(1 + "h" - 1)`
= `lim_("h" -> 0) ("q" + "qh" + 2 - 4 - "p")/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ("qh" + "q" - 2 - "p")/"h"`
मौजूदा सीमा के लिए
q – 2 – p = 0
⇒ q – p = 2
⇒ `lim_("h" -> 0) ("qh" - 0)/"h"` = q
यदि L.H.L. f'(1) = R.H.L. f'(1) फिर q = 5
अब q का मान समीकरण (i) में रखने पर
5 – p = 2
⇒ p = 3.
अत: p का मान 3 है और q का 5 है।
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क्या f(x) = x2 − sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
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`[0, pi/2]` में फलन f(x) = sin 2x के लिए रोले के प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
मान लीजिए कि f(x) = `{{:((1 - cos 4x)/x^2",", "यदि" x < 0),("a"",", "if" x = 0),(sqrt(x)/(sqrt(16) + sqrt(x) - 4)",", "यदि" x > 0):}` है। a के किस मान के लिए x = 0 पर f संतत है?
यदि u = `sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))` और v = `tan^-1 ((2x)/(1 - x^2))`, है, तो `"du"/"dv"` है
फलन f(x) = e x sinx, x ∈ π [0, π] के लिए, रोले के प्रमेय में c का मान है
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
फलन f(x) = x3 + 2x2 – 1 को x = 1 पर संततता की जाँच कौजिए।
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x = 2 पर f(x) = `{{:((2^(x + 2) - 16)/(4^x - 16)",", "यदि" x ≠ 2),("k"",", "यदि" x = 2):}`
x = 2 पर, f(x) = `{{:(x[x]",", "यदि" 0 ≤ x < 2),((x - 1)x",", "यदि" 2 ≤ x < 3):}`
यदि x = asin2t (1 + cos2t) और y = b cos2t (1–cos2t) तो दर्शाइए कि, x = `pi/4` पर;`("dy"/"dx") = "b"/"a"`
रोले के प्रमेय का प्रयोग करते हुए वक् y = x (x – 4), x Î [0, 4] पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
[0, 1] में f(x) = x3 – 2x2 – x + 3
माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x2 – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
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