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Question
p और q के ऐसे मान ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` बिंदु x = 1 पर अवकलनीय हो।
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Solution
दिया गया है कि: f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` x = 1 पर
L.H.L. f'(c) = `lim_(x -> 1^-) ("f"(x) - "f"("c"))/(x - "c")`
⇒ f'(1) = `lim_(x -> 1^-) ("f"(x) - "f"(1))/(x - 1)`
= `lim_(x -> 1^-) ((x^2 + 3x + "p") - (1 + 3 + "p"))/(x - 1)`
= `lim_("h" -> 0) ([(1 - "h")^2 + 3(1 - "h") + "p"] - [4 + "p"])/(1 - "h" - 1)`
= `lim_("h" -> 0) ([1 + "h"^2 - 2"h" + 3 - 3"h" + "p"] - [4 + "p"])/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) (["h"^2 - 5"h" + 4 + "p"] - [4 + "p"])/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ("h"^2 - 5"h" + 4 + "p" - 4 - "p")/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ("h"^2 - 5"h")/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ("h"["h" - 5])/(-"h")`
= 5
R.H.L. f'(1) = `lim_(x -> 1^+) ("f"(x) - "f"(1))/(x - 1)`
= `lim_(x -> 1^+) (("q"x + 2) - (1 + 3 + "p"))/(x - 1)`
= `lim_("h" -> 0) (["q"(1 + "h") + 2] - [4 + "p"])/(1 + "h" - 1)`
= `lim_("h" -> 0) ("q" + "qh" + 2 - 4 - "p")/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ("qh" + "q" - 2 - "p")/"h"`
मौजूदा सीमा के लिए
q – 2 – p = 0
⇒ q – p = 2
⇒ `lim_("h" -> 0) ("qh" - 0)/"h"` = q
यदि L.H.L. f'(1) = R.H.L. f'(1) फिर q = 5
अब q का मान समीकरण (i) में रखने पर
5 – p = 2
⇒ p = 3.
अत: p का मान 3 है और q का 5 है।
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x = 5 पर f(x) = `{{:(3x - 8",", "यदि" x ≤ 5),(2"k"",", "यदि" x > 5):}`
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दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।
`cos(tan sqrt(x + 1))`
`cos^-1 ((sinx + cosx)/sqrt(2)), (-pi)/4 < x < pi/4`
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sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
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यदि x sin (a + y) + sin a cos (a + y) = 0 तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (sin^2("a" + y))/sin"a"`
[0, 1] में f(x) = x(x – 1)2
f(x) = `{{:(x^2 + 1",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(3 - x",", "यदि" 1 ≤ x ≤ 2):}` द्वारा दिए जाने वाले फलन पर रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगता पर चर्चा कीजिए।
माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x2 – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = y/x`
फलन f(x) = `"e"^|x|`
x3 के सापेक्ष x2 अवकलज ______ है।
