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Question
सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}` से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।
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Solution
हमारे पास f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}`
x = 0 पर
L.H.L. = `lim_(x ->0^+) ((0 - "h"))/(|0 - "h"| + 2(0 - "h")^2`
= `lim_("h" -> 0) (-"h")/("h" + 2"h"^2)`
= `lim_("h" -> 0) (-1)/(1 + 2"h")`
= – 1
R.H.L. = `lim_(x -> 0^+) x/(|x| + 2x^2)`
= `lim_("h" -> 0) (0 + "h")/(|0 + "h"| + 2(0 + "h")^2`
= `lim_("h" -> 0) "h"/("h" + 2"h"^2)`
= `lim_("h" -> 0) 1/(1 + 2"h")`
= 1
क्योंकि, L.H.L. ≠ R.H.L. k के किसी भी मान के लिए
इसलिए, k की पसंद की परवाह किए बिना f(x) x = 0 पर असंतत है।
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