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Question
x = 1 पर f(x) = |x| + |x − 1|
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Solution
हमारे पास, x = 1 पर f(x) = |x| + |x − 1|
x = 1 पर
L.H.L. = `lim_(x -> 1^-) [|x| + |x - 1|]`
= `lim_("h" -? 0^-) [|1 - "h"| + |1 - "h" - 1|]`
= 1 + 0
= 1
और R.H.L. = `lim_(x ->^+) [|x| + x - 1|]`
= `lim_("h" -> 0) [|1 + "h"| + |1 + "h" - 1|]`
= 1 + 0
= 1
साथ ही f(1) = |1| + |0| = 1
इस प्रकार, L.H.L. = R.H.L = f(1)
अत: f(x) x = 1 पर संतत है।
वैकल्पिक तरीका:
क्योंकि सभी वास्तविक x के लिए प्रत्येक मापांक फलन संतत होता है।
|x| और |x – 1| सभी वास्तविक x के लिए संतत हैं।
तो, |x| + |x – 1| सभी वास्तविक x के लिए संतत है और इसलिए x = 0 पर।
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यदि u = `sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))` और v = `tan^-1 ((2x)/(1 - x^2))`, है, तो `"du"/"dv"` है
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
x के सापेक्ष log10 का अवकलज ______ है।
x = 0 पर f(x) = `{{:(|x|cos 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
फलन f(t) = `1/("t"^2 + "t" - 2)`, की असंततता के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए, जहाँ t = `1/(x - 1)` है।
x = 0 पर, f(x) = `{{:(x^2 sin 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
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दर्शाइए कि x = 5 पर, f(x) = |x – 5| संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।
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