Question

tan^–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.

Answer 1

मान लीजिए y = `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` and z = tan^–1x.

x = tan θ रखो।

∴ y = `tan^-1 ((sqrt(1 + tan^2 theta) - 1)/tan theta)` और z = tan^–1(tan θ) = θ

⇒ `tan ((sqrt(sec theta) - 1)/tan) = tan^-1 ((sec theta - 1)/tan theta)`

= `tan^-1 ((1/(cos theta) - 1)/((sin theta)/(cos theta))) = tan^-1 ((1 - cos theta)/sin theta)`

⇒ `tan^-1 ((2 sin^2  theta/2)/(2 sin  theta /2 cos  theta/2)) = tan^-1 ((sin  theta/2)/(cos  theta/2))`

⇒ y = `tan^-1 (tan  theta/2)`

⇒ y = `theta/2`

दोनों प्राचलिक फलनों में अंतर करना w.r.t. θ

`"dy"/("d"theta) = 1/2 * "d"/("d"theta) (theta)` और `"dz"/("d"theta) = "d"/("d"theta) (theta)`

= `1/2 * 1`

= `1/2` और `"dz"/("d"theta)` = 1

∴ `"dy"/"dz" = ("dy"/("d"theta))/("dz"/("d"theta))`

= `(1/2)/1`

= `1/2`