Advertisements
Advertisements
प्रश्न
tan–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए y = `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` and z = tan–1x.
x = tan θ रखो।
∴ y = `tan^-1 ((sqrt(1 + tan^2 theta) - 1)/tan theta)` और z = tan–1(tan θ) = θ
⇒ `tan ((sqrt(sec theta) - 1)/tan) = tan^-1 ((sec theta - 1)/tan theta)`
= `tan^-1 ((1/(cos theta) - 1)/((sin theta)/(cos theta))) = tan^-1 ((1 - cos theta)/sin theta)`
⇒ `tan^-1 ((2 sin^2 theta/2)/(2 sin theta /2 cos theta/2)) = tan^-1 ((sin theta/2)/(cos theta/2))`
⇒ y = `tan^-1 (tan theta/2)`
⇒ y = `theta/2`
दोनों प्राचलिक फलनों में अंतर करना w.r.t. θ
`"dy"/("d"theta) = 1/2 * "d"/("d"theta) (theta)` और `"dz"/("d"theta) = "d"/("d"theta) (theta)`
= `1/2 * 1`
= `1/2` और `"dz"/("d"theta)` = 1
∴ `"dy"/"dz" = ("dy"/("d"theta))/("dz"/("d"theta))`
= `(1/2)/1`
= `1/2`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`cot^(-1) [(sqrt(1+sinx) + sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx) - sqrt(1-sinx))], 0 < x < pi/2`
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(log x)log x, x > 1
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
cos (a cos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।
अचर k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f ] x = 0 पर संतत हो, जहाँ f(x) = `{{:((1 - cos4x)/(8x^2)",", x ≠ 0),("k"",", x = 0):}` है।
`sqrttan sqrt(x)` को x के सापेक्ष अवकलित कीजिए।
दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
f (x) = tanx द्वारा दिए जाने वाला फलन निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ फलन f(x) = `1/(log|x|)` असंतत है, ______ है।
x = a पर f (x) संततता के लिए? `lim_(x -> "a"^+) "f"(x)` और `lim_(x -> "a"^-) "f"(x)` में से प्रत्येक f (a) के बराबर होता है।
y = |x – 1| एक संतत फलन है।
|sinx| चर के x के प्रत्येक मान के लिए एक अवकलनीय फलन है।
x = a पर f(x) = `{{:(|x - "a"| sin 1/(x - "a")",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = "a"):}`
(sin x)cosx
`cos^-1 ((sinx + cosx)/sqrt(2)), (-pi)/4 < x < pi/4`
`tan^-1 (("a"cosx - "b"sinx)/("b"cosx - "a"sinx)), - pi/2 < x < pi/2` तथा `"a"/"b" tan x > -1`
x = `(1 + log "t")/"t"^2`, y = `(3 + 2 log "t")/"t"`
(x2 + y2)2 = xy
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
यदि x sin (a + y) + sin a cos (a + y) = 0 तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (sin^2("a" + y))/sin"a"`
`[0, pi/2]` esa f(x) = `sin^4x + cos^4x`
[0, π] में f(x) = sinx – sin2x
फलन f(x) = cot x निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है।
यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
cos–1(2x2 – 1) के सापेक्ष cos–1x का अवकलज है।
एक ऐसे फलन का उदाहरण जो सभी स्थानों पर संतत है, परंतु ठीक दो बिंदुओं पर अवकलनीय रहने में असमर्थ रहता है ______ है।
x3 के सापेक्ष x2 अवकलज ______ है।
यदि f अपने प्राँत D पर संतत है, तो |f| भी D पर संतत होगा।
