Question

दर्शाइए कि f(x) = `{{:(x sin  1/x",", x ≠ 0),(0",", x = 0):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0 पर संतत है।

Answer 1

x = 0 पर, वाम पक्ष की सीमा नीचे दिए अनुसार प्राप्त होती है-

`lim_(x -> 0^-) "f"(x) = lim_(x -> 0^-) x sin  1/x` = 0  ....`["क्योंकि", -1 < sin  1/x  < 1]`

इसी प्रकार, `lim_(x -> 0^+) "f"(x) = lim_(x -> 0^+) x sin  1/x` = 0 है।

साथ ही, f(0) = 0 है।

इस प्रकार, `lim_(x -> 0^-) "f"(x) = lim_(x -> 0^-) "f"(x)` = f(0) है।

अत:, x = 0  पर फलन f संतत है।