Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
Advertisements
उत्तर
दिया गया है: ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0.
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
`"d"/"dx" ("a"x^2 + 2"h"xy + "b"y^2 + 2"g"x + 2"f"y + "c") = "d"/"dx" (0)`
⇒ `"a"*2x + 2"h"(x * "dy"/"dx" + y*1) + "b"*2*y* "dy"/"dx" + 2"g"*1 + 2"f"* "dy"/"dx" + 0` = 0
⇒ `2"a"x + 2"h"x * "dy"/"dx" + 2"h"y + 2"b"y * "dy"/"dx" + 2"g" + 2"f" * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `2"h"x * "dy"/"dx" + 2"b"y "dy"/"dx" + 2"f" "dy"/"dx"` = – 2ax – 2hy – 2g
⇒ `(2"h"x + 2"b"y + 2"f") "dy"/"dx"` = – 2(ax + hy + g)
⇒ `2("h"x + "b"y + "f") "dy"/"dx"` = = – 2(ax + hy + g)
⇒ `"dy"/"dx" = (-2("a"x + "h"y + "g"))/(2("h"x + "b"y + "f"))`
⇒ `"dy"/"dx" = (-("a"x + "h"y + "g"))/(("h"x + "b"y + "f"))`
अब दिए गए समीकरण को w.r.t. y.
`"d"/"dy" ("a"x^2 + 2"h"xy + "b"y^2 + 2"g"x + 2"f"y + "c") = "d"/"dy"(0)`
⇒ `2"a"x* "dx"/"dy" + 2"h" (y * "dx"/"dy" + x*1) + 2"b"y + 2"g" * "dx"/"dy" + 2"f" * 1 + 0` = 0
⇒ `2"a"x * "dx"/"dy" + 2"h"y * "dx"/"dy" + 2"h"x + 2"b"y + 2"g" * "dx"/"dy" + 2"f"` = 0
⇒ `2"a"x "dx"/"dy" + 2"h"y * "dx"/"dy" + 2"g" * "dx"/"dy"` = – 2hx – 2by – 2f
⇒ `(2"a"x + 2"h"y + 2"g") "dx"/"dy"` = = – 2hx – 2by – 2f
⇒ `"dx"/"dy" = (-2"h"x - 2"b"y - 2"f")/(2"a"x + 2"h"y + 2"g")`
⇒ `"dx"/"dy" = (-2("h"x + "b"y + "f"))/(2("a"x + "h"y + "g"))`
⇒ `"dx"/"dy" = (-("h"x + "b"y + "f"))/(("a"x + "h"y + "g"))`
∴ `"dy"/"dx" * "dx"/"dy" = [(-("a"x + "h"y + "g"))/(("h"x + "b"y + "f"))][(-("h"x + "b"y + "f"))/(("a"x + "h"y + "g"))]` = 1
इसलिए, `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1.
इसलिए साबित हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
क्या f(x) = x2 − sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(3x2 – 9x + 5)9
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`x^(x^2-3) + (x - 3)^(x^2), x > 3` के लिए।
यदि किसी c > 0 के लिए (x – a)2 + (y – b)2 = c2 है तो सिद्ध कीजिए कि `[1+ (dy/dx)^2]^(3/2)/((d^2y)/dx^2)`, a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
यदि cos y = x cos (a + y) तथा cos a ≠ ±1 है तो सिद्ध कीजिए कि `dy/dx = (cos^2 (a + y))/(sin a)`।
यदि f(x) = `{{:((x^3 + x^2 - 16x + 20)/(x - 2)^2",", x ≠ 2),("k"",", x = 2):}` पर संतत है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
`[0, pi/2]` में फलन f(x) = sin 2x के लिए रोले के प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
`cos^-1(2xsqrt(1 - x^2))` के सापेक्ष `tan^-1 (sqrt(1 - x^2)/x)` को अवकलित कीजिए, जहाँ `x ∈ (1/sqrt(2), 1)` है।
उन बिंदुओं का सम्मुच्चय, जहाँ f(x) = |x – 3| cosx द्वारा दिया जाने वाला फलन अवकलनीय है,
फलन f (x) = x (x – 2), x ∈ [1, 2] के लिए, माध्य मान प्रमेय में c का मान है
उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ फलन f(x) = `1/(log|x|)` असंतत है, ______ है।
यदि y = `sec^-1 ((sqrt(x) + 1)/(sqrt(x + 1))) + sin^-1((sqrt(x) - 1)/(sqrt(x) + 1))` है, तो `"dy"/"dx"` = ______ है।
x = 1 पर f(x) = |x| + |x − 1|
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।
`2^(cos^(2_x)`
`tan^-1 (secx + tanx), - pi/2 < x < pi/2`
`tan^-1 ((3"a"^2x - x^3)/("a"^3 - 3"a"x^2)), (-1)/sqrt(3) < x/"a" < 1/sqrt(3)`
`tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 + x^2) - sqrt(1 - x^2))), -1 < x < 1, x ≠ 0`
tan–1(x2 + y2) = a
[–1, 1] में f(x) = log(x2 + 2) – log3
रोले के प्रमेय का प्रयोग करते हुए वक् y = x (x – 4), x Î [0, 4] पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `("d"^2"y")/("dx"^2)` = 0
यदि f(x) = `x^2 sin 1/x` जहाँ x ≠ 0 तो x = 0 पर फलन f का मान निम्नलिखित होगा यदि यह फलन x = 0 संतत है।
यदि y = `log ((1 - x^2)/(1 + x^2))` है, तो `"dy"/"dx"` बराबर है।
यदि y = `sqrt(sinx + y)` है, तो `"dy"/"dx"` बराबर है।
cos–1(2x2 – 1) के सापेक्ष cos–1x का अवकलज है।
x3 के सापेक्ष x2 अवकलज ______ है।
