Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
Advertisements
उत्तर
दिया गया है: ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0.
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
`"d"/"dx" ("a"x^2 + 2"h"xy + "b"y^2 + 2"g"x + 2"f"y + "c") = "d"/"dx" (0)`
⇒ `"a"*2x + 2"h"(x * "dy"/"dx" + y*1) + "b"*2*y* "dy"/"dx" + 2"g"*1 + 2"f"* "dy"/"dx" + 0` = 0
⇒ `2"a"x + 2"h"x * "dy"/"dx" + 2"h"y + 2"b"y * "dy"/"dx" + 2"g" + 2"f" * "dy"/"dx"` = 0
⇒ `2"h"x * "dy"/"dx" + 2"b"y "dy"/"dx" + 2"f" "dy"/"dx"` = – 2ax – 2hy – 2g
⇒ `(2"h"x + 2"b"y + 2"f") "dy"/"dx"` = – 2(ax + hy + g)
⇒ `2("h"x + "b"y + "f") "dy"/"dx"` = = – 2(ax + hy + g)
⇒ `"dy"/"dx" = (-2("a"x + "h"y + "g"))/(2("h"x + "b"y + "f"))`
⇒ `"dy"/"dx" = (-("a"x + "h"y + "g"))/(("h"x + "b"y + "f"))`
अब दिए गए समीकरण को w.r.t. y.
`"d"/"dy" ("a"x^2 + 2"h"xy + "b"y^2 + 2"g"x + 2"f"y + "c") = "d"/"dy"(0)`
⇒ `2"a"x* "dx"/"dy" + 2"h" (y * "dx"/"dy" + x*1) + 2"b"y + 2"g" * "dx"/"dy" + 2"f" * 1 + 0` = 0
⇒ `2"a"x * "dx"/"dy" + 2"h"y * "dx"/"dy" + 2"h"x + 2"b"y + 2"g" * "dx"/"dy" + 2"f"` = 0
⇒ `2"a"x "dx"/"dy" + 2"h"y * "dx"/"dy" + 2"g" * "dx"/"dy"` = – 2hx – 2by – 2f
⇒ `(2"a"x + 2"h"y + 2"g") "dx"/"dy"` = = – 2hx – 2by – 2f
⇒ `"dx"/"dy" = (-2"h"x - 2"b"y - 2"f")/(2"a"x + 2"h"y + 2"g")`
⇒ `"dx"/"dy" = (-2("h"x + "b"y + "f"))/(2("a"x + "h"y + "g"))`
⇒ `"dx"/"dy" = (-("h"x + "b"y + "f"))/(("a"x + "h"y + "g"))`
∴ `"dy"/"dx" * "dx"/"dy" = [(-("a"x + "h"y + "g"))/(("h"x + "b"y + "f"))][(-("h"x + "b"y + "f"))/(("a"x + "h"y + "g"))]` = 1
इसलिए, `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1.
इसलिए साबित हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
यदि f(x) = |cos x – sinx| है, तो `"f'"(pi/6)` ज्ञात कीजिए।
f(x) = `{{:(2x + 3",", "if" -3 ≤ x < - 2),(x + 1",", "if" -2 ≤ x < 0),(x + 2",", "if" 0 ≤ x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
फलन f(x) = [x], जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है, निम्नलिखित पर संतत है।
f (x) = tanx द्वारा दिए जाने वाला फलन निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है
x के सापेक्ष sec (tan–1x) का अवकल गुणांक है
cos x के सापेक्ष sin x का अवकलज ______ है।
एक संतत फलन में कुछ ऐसे बिंदु हो सकते हैं जहाँ सीमाओं का अस्तित्व न हों।
फलन f(x) = x3 + 2x2 – 1 को x = 1 पर संततता की जाँच कौजिए।
x=0 पर f(x) = `{{:((1 - cos 2x)/x^2",", "यदि" x ≠ 0),(5",", "यदि" x = 0):}`
x = 1 पर f(x) = |x| + |x − 1|
x = 2 पर f(x) = `{{:((2^(x + 2) - 16)/(4^x - 16)",", "यदि" x ≠ 2),("k"",", "यदि" x = 2):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
`log (x + sqrt(x^2 + "a"))`
sinn (ax2 + bx + c)
`tan^-1 (secx + tanx), - pi/2 < x < pi/2`
`tan^-1 ((3"a"^2x - x^3)/("a"^3 - 3"a"x^2)), (-1)/sqrt(3) < x/"a" < 1/sqrt(3)`
sin x = `(2"t")/(1 + "t"^2)`, tan y = `(2"t")/(1 - "t"^2)`
tan–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.
यदि x = `"e"^(x/y)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (x - y)/(xlogx)`
यदि yx = ey – x तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (1 + log y)^2/logy`
[0, 2π] में वक् y = (cosx – 1) पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
[1, 4] में f(x) = `1/(4x - 1)`
[1, 5] में f(x) = `sqrt(25 - x^2)`
यदि y = `x^tanx + sqrt((x^2 + 1)/2)` है, तो `"dy"/"dx"` ज्ञात कीजिए।
बिंदुओं का वह समुच्चय, जहाँ f(x) = |2x − 1| sinx| से दिये जाना वाला फलन f अवकलनीय है, निम्नलिखित है।
यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
[0, 2] में फलन f(x) = |x – 1| के लिए, रोले का प्रमेय प्रयुक्त है।
यदि f अपने प्राँत D पर संतत है, तो |f| भी D पर संतत होगा।
दो संतत फलनों का संयोजन एक संतत फलन होता है।
