Advertisements
Advertisements
प्रश्न
`tan^-1 ((3"a"^2x - x^3)/("a"^3 - 3"a"x^2)), (-1)/sqrt(3) < x/"a" < 1/sqrt(3)`
Advertisements
उत्तर
माना y = `tan^-1 [(3"a"^2x - x^3)/("a"^3 - 3"a"x^2)]`
x = a tan θ रखिये
∴ θ = `tan^-1 x/"a"`
y = `tan^-1 [(3"a"^2 * "a"tantheta - "a"^3 tan^3 theta)/("a"^3 - 3"a"*"a"^2 tan^2theta)]`
⇒ y = `tan^-1 [(3"a"^2 tantheta - "a"^3 tan^3theta)/("a"^3 - 3"a"^3 tan^2theta)]`
⇒ y = `tan^-1 [(3tan theta - tan^2ttheta)/(1 - 3tan^2 theta)]`
⇒ y = `tan^-1 [tan 3theta)]` .......`["क्योंकि" tan 3theta = (3tantheta - tan^2theta)/(1 - 3tan^2theta)]`
⇒ y = 3θ
⇒ y = `3tan^-1 x/"a"`
दोनों पक्षों को अलग करना w.r.t. x
`"dy"/"dx" = 3*"d"/"dx" (tan^-1 x/"a")`
= `3* 1/(1 + x^2/"a"^2) * "d"/"dx" * (x/"a")`
= `3 * "a"^2/("a"^2 + x^2) * 1/"a"`
= `(3"a")/("a"^2 + x^2)`
अत: `"dy"/"dx" = (3"a")/("a"^2 + x^2)`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
cos (a cos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
xx + xa + ax + aa, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
अचर k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f ] x = 0 पर संतत हो, जहाँ f(x) = `{{:((1 - cos4x)/(8x^2)",", x ≠ 0),("k"",", x = 0):}` है।
फलन f(x) = sin x . cos x के सांतत्य की चर्चा कीजिए।
यदि f(x) = `{{:((x^3 + x^2 - 16x + 20)/(x - 2)^2",", x ≠ 2),("k"",", x = 2):}` पर संतत है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
मान लीजिए कि सभी x ∈ R के लिए, f(x) = x|x| तो x = 0 पर, f (x) की अवकलजता की चर्चा कीजिए।
[3, 5] में फलन f (x) = (x – 3) (x – 6) (x – 9 के लिए माध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
फलन f(x) = [x], जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है, निम्नलिखित पर संतत है।
cos x के सापेक्ष sin x का अवकलज ______ है।
y = |x – 1| एक संतत फलन है।
cos |x| प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है।
फलन f(x) = x3 + 2x2 – 1 को x = 1 पर संततता की जाँच कौजिए।
x = 0 पर f(x) = `{{:(|x|cos 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि x = 5 पर, f(x) = |x – 5| संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।
एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।
sinmx . cosnx
`cos^-1 ((sinx + cosx)/sqrt(2)), (-pi)/4 < x < pi/4`
`sec^-1 (1/(4x^3 - 3x)), 0 < x < 1/sqrt(2)`
यदि x = `"e"^(x/y)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (x - y)/(xlogx)`
f(x) = `{{:(x^2 + 1",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(3 - x",", "यदि" 1 ≤ x ≤ 2):}` द्वारा दिए जाने वाले फलन पर रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगता पर चर्चा कीजिए।
[1, 5] में f(x) = `sqrt(25 - x^2)`
माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x2 – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
यदि y = `x^tanx + sqrt((x^2 + 1)/2)` है, तो `"dy"/"dx"` ज्ञात कीजिए।
फलन f(x) = `(4 - x^2)/(4x - x^3)`
बिंदुओं का वह समुच्चय, जहाँ f(x) = |2x − 1| sinx| से दिये जाना वाला फलन f अवकलनीय है, निम्नलिखित है।
यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
यदि y = `sqrt(sinx + y)` है, तो `"dy"/"dx"` बराबर है।
यदि x = t2 और y = t3 है, तो `("d"^2"y")/("dx"^2)` है।
यदि f(x) = |cosx – sinx| है तो `"f'"(pi/3)` = ______
