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प्रश्न
यदि x sin (a + y) + sin a cos (a + y) = 0 तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (sin^2("a" + y))/sin"a"`
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उत्तर
दिया है कि: x sin (a + y) + sin a cos (a + y) = 0
⇒ x sin (a + y) = – sin a cos (a + y)
⇒ x = `(-sin"a" * cos("a" + y))/(sin ("a" + y))`
⇒ x = – sin a.cot (a + y)
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. y
⇒ `"dx"/"dy" = - sin"a"*"d"/"dy" cot("a" + y)`
⇒ `"dx"/"dy" = -sin"a"[-"cosec"^2("a" + y)`
⇒ `"dx"/"dy" = sin"a"/(sin^2("a" + y))`
∴ `"dy"/"dx" = 1/("dx"/"dy")`
= `1/(sin"a"/(sin^2("a" + y))`
इसलिए, `"dy"/"dx" = (sin^2("a" + y))/sin"a"`.
इसलिए साबित हुआ।
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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`sin^(–1)(xsqrtx), 0 ≤ x ≤ 1`
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मान लीजिए कि f(x) = `{{:((1 - cos 4x)/x^2",", "यदि" x < 0),("a"",", "if" x = 0),(sqrt(x)/(sqrt(16) + sqrt(x) - 4)",", "यदि" x > 0):}` है। a के किस मान के लिए x = 0 पर f संतत है?
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उन बिंदुओं का सम्मुच्चय, जहाँ f(x) = |x – 3| cosx द्वारा दिया जाने वाला फलन अवकलनीय है,
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निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
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(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
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| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ फलन f(x) = `1/(log|x|)` असंतत है, ______ है।
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x = a पर f(x) = `{{:(|x - "a"| sin 1/(x - "a")",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = "a"):}`
x = 2 पर f(x) = `{{:((2^(x + 2) - 16)/(4^x - 16)",", "यदि" x ≠ 2),("k"",", "यदि" x = 2):}`
सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}` से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।
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