Advertisements
Advertisements
प्रश्न
दर्शाइए कि x = 5 पर, f(x) = |x – 5| संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।
Advertisements
उत्तर
हमारे पास f(x) = |x – 5| है।
⇒ f(x) = `{{:(-(x - 5)",", "if" x - 5 < 0 or x < 5),(x - 5",", "if" x - 5 > 0 or x > 5):}`
x = 5 पर सांतत्य के लिए
L.H.L. `lim_("h" -> 5^-) "f"(x)` = – (x – 5)
= `lim_("h" -> 0) - (5 - "h" - 5)`
= `lim_("h" -> 0) "h" = 0`
R.H.L. `lim_(x -> 5^+) "f"(x)` = x – 5
= `lim_("h" -> 0) (5 + "h" - 5)`
= `lim_("h" -> 0) "h"` = 0
L.H.L. = R.H.L.
अत: f(x) x = 5 पर संतत है।
अब, भिन्नता के लिए
Lf'(5) = `lim_("h" -> 0) ("f"(5 - "h") - "f"(5))/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) (-(5 - "h" - 5) - (5 - 5))/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) "h"/(-"h")`
= – 1
Rf'(5) = `lim_("h" -> 0) ("f"(5 + "h") - "f"(5))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ((5 + "h" - 5) - (5 - 5))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ("h" - 0)/"h"`
= 1
∵ Lf'(5) ≠ Rd'(5)
अत: x = 5 पर f(x) अवकलनीय नहीं है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
क्या f(x) = x2 − sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
अचर k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f ] x = 0 पर संतत हो, जहाँ f(x) = `{{:((1 - cos4x)/(8x^2)",", x ≠ 0),("k"",", x = 0):}` है।
मान लीजिए कि सभी x ∈ R के लिए, f(x) = x|x| तो x = 0 पर, f (x) की अवकलजता की चर्चा कीजिए।
यदि ex + ey = ex+y दिया है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"y)/("d"x) = -"e"^(y - x)` है।
यदि x = a sec3θ और y = a tan3θ है, तो θ = `pi/3` पर `("d"y)/("d"x)` ज्ञात कीजिए।
[3, 5] में फलन f (x) = (x – 3) (x – 6) (x – 9 के लिए माध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
यदि फलन f(x) = `{{:(sinx/x + cosx",", "यदि" x ≠ 0),("k"",", "यदि" x = 0):}` बिंदु x = 0 पर f संतत है, तो k का मान है।
मान लीजिए कि f(x)= |cosx| है।जब,
उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ फलन f(x) = `1/(log|x|)` असंतत है, ______ है।
cos x के सापेक्ष sin x का अवकलज ______ है।
cos |x| प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है।
x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:(("e"^(1/x))/(1 + "e"^(1/x))",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 1 पर f(x) = `{{:(x^2/2",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(2x^2 - 3x + 3/2",", "यदि" 1 < x ≤ 2):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
`sin sqrt(x) + cos^2 sqrt(x)`
sinmx . cosnx
x = `"t" + 1/"t"`, y = `"t" - 1/"t"`
sin x = `(2"t")/(1 + "t"^2)`, tan y = `(2"t")/(1 - "t"^2)`
x = `(1 + log "t")/"t"^2`, y = `(3 + 2 log "t")/"t"`
(x2 + y2)2 = xy
`[0, pi/2]` esa f(x) = `sin^4x + cos^4x`
[0, 2π] में वक् y = (cosx – 1) पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
[0, π] में f(x) = sinx – sin2x
[1, 5] में f(x) = `sqrt(25 - x^2)`
यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
दो संतत फलनों का संयोजन एक संतत फलन होता है।
त्रिकोणमितीय एवं त्रिकोणमितीय व्युत्क्रम फलन अपने-अपने प्राँतों में अवकलनीय होते हैं।
