Advertisements
Advertisements
प्रश्न
`cos^-1(2xsqrt(1 - x^2))` के सापेक्ष `tan^-1 (sqrt(1 - x^2)/x)` को अवकलित कीजिए, जहाँ `x ∈ (1/sqrt(2), 1)` है।
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए कि u = `tan^-1 (sqrt(1 - x^2)/x)` और v = `cos^-1(2xsqrt(1 - x^2))` है।
हम `"du"/"dv" = (("du")/("dx"))/(("dv")/("dx"))` ज्ञात करना चाहते हैं।
अब u = `tan^-1 (sqrt(1 - x^2)/x)` में
x = `sintheta "रखिए", "जहाँ" (pi/2 < theta < pi/2)` है।
तब u = `tan^-1 (sqrt(1 - sin^2theta)/sintheta)`
= `tan^-1 (cot theta)`
= `tan^-1 {tan (pi/2 - theta)}`
= `pi/2 - theta`
= `pi/2 - sin^-1x`
अत: `"du"/"dx" = (-1)/sqrt(1 - x^2)` होगा।
अब v = `cos^-1 (2x sqrt(1 - x^2))`
= `pi/2 - sin^-1 (2x sqrt(1 - x^2))`
= `pi/2 - sin^-1 (2sintheta sqrt(1 - sin^2theta))`
= `pi/2 - sin^-1 (sin 2theta)`
= `pi/2 - sin^-1 {sin (pi - 2theta)}` .......{क्योंकि `pi/2` < 2θ < π]
= `pi/2 - (pi / 2theta)`
= `(-pi)/2 + 2theta`
अत: v = `(-pi)/2 + 2sin^-1x`
⇒ `"dv"/"dv" = (("du")/("d"x))/(("dv")/("dx"))`
= `((-1)/sqrt(1 - x^2))/(2/sqrt(1 - x^2))`
= `(-1)/2`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`sin^(–1)(xsqrtx), 0 ≤ x ≤ 1`
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`cot^(-1) [(sqrt(1+sinx) + sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx) - sqrt(1-sinx))], 0 < x < pi/2`
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`x^(x^2-3) + (x - 3)^(x^2), x > 3` के लिए।
फलन f(x) = sin x . cos x के सांतत्य की चर्चा कीजिए।
यदि y = `tan^-1 ((3x - x^3)/(1 - 3x^2)), -1/sqrt(3) < x < 1/sqrt(3)` है, तो `("d"y)/("d"x)` ज्ञात कीजिए।
यदि f(x) = |cos x|, है, तो f ′ `((3pi)/4)` ज्ञात कीजिए।
`[0, pi/2]` में फलन f(x) = sin 2x के लिए रोले के प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
फलन f(x) = [x], जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है, निम्नलिखित पर संतत है।
k का वह मान, जो f(x) = `{{:(sin 1/x",", "if" x ≠ 0),("k"",", "if" x = 0):}` द्वारा परिभाषित फलन को x = 0 पर संतत बना दे,
x के सापेक्ष sec (tan–1x) का अवकल गुणांक है
y = |x – 1| एक संतत फलन है।
x = a पर f(x) = `{{:(|x - "a"| sin 1/(x - "a")",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = "a"):}`
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
फलन f(t) = `1/("t"^2 + "t" - 2)`, की असंततता के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए, जहाँ t = `1/(x - 1)` है।
sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
`sin xy + x/y` = x2 – y
[– 2, 2] में f(x) = `sqrt(4 - x^2)`
f(x) = `{{:(x^2 + 1",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(3 - x",", "यदि" 1 ≤ x ≤ 2):}` द्वारा दिए जाने वाले फलन पर रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगता पर चर्चा कीजिए।
[0, 1] में f(x) = x3 – 2x2 – x + 3
[0, π] में f(x) = sinx – sin2x
वक्र y = (x – 3)2 पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा (3, 0) और (4, 1) बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर हो।
फलन f(x) = `"e"^|x|`
यदि y = `log ((1 - x^2)/(1 + x^2))` है, तो `"dy"/"dx"` बराबर है।
यदि f(x) = |cosx| तो `"f'"(pi/4)` = ______
यदि f(x) = |cosx – sinx| है तो `"f'"(pi/3)` = ______
