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प्रश्न
[3, 5] में फलन f (x) = (x – 3) (x – 6) (x – 9 के लिए माध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
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उत्तर
(i) [3, 5] में फलन f संतत है, क्योंकि बहुपद फलनों का गुणनफल एक बहुपद है, जो संतत है।
(ii) (3, 5) में f′(x) = 3x2 – 36x + 99 का अस्तित्व है। अत:, यहाँ (3, 5) में अवकलनीय है।
इस प्रकार, माध्यमान प्रमेय के प्रतिबंध संतुष्ट हो जाते हैं। अत: कम से कम एक ऐसे बिंदु c ∈ (3, 5) के लिए-
f'(c) = `("f"(5) - "f"(3))/(5 - 3)`
⇒ 3c2 – 36c + 99 = `(8 - 0)/2` = 4
⇒ c = `6 +- sqrt(13/3)`.
अत: c = `6 +- sqrt(13/3)` .....(क्योंकि दूसरा मान अमान्य है)।
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sinn (ax2 + bx + c)
sinmx . cosnx
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x = `"e"^theta (theta + 1/theta)`, y= `"e"^-theta (theta - 1/theta)`
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