Advertisements
Advertisements
प्रश्न
[3, 5] में फलन f (x) = (x – 3) (x – 6) (x – 9 के लिए माध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
Advertisements
उत्तर
(i) [3, 5] में फलन f संतत है, क्योंकि बहुपद फलनों का गुणनफल एक बहुपद है, जो संतत है।
(ii) (3, 5) में f′(x) = 3x2 – 36x + 99 का अस्तित्व है। अत:, यहाँ (3, 5) में अवकलनीय है।
इस प्रकार, माध्यमान प्रमेय के प्रतिबंध संतुष्ट हो जाते हैं। अत: कम से कम एक ऐसे बिंदु c ∈ (3, 5) के लिए-
f'(c) = `("f"(5) - "f"(3))/(5 - 3)`
⇒ 3c2 – 36c + 99 = `(8 - 0)/2` = 4
⇒ c = `6 +- sqrt(13/3)`.
अत: c = `6 +- sqrt(13/3)` .....(क्योंकि दूसरा मान अमान्य है)।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
xx + xa + ax + aa, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
अचर k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f ] x = 0 पर संतत हो, जहाँ f(x) = `{{:((1 - cos4x)/(8x^2)",", x ≠ 0),("k"",", x = 0):}` है।
`sqrttan sqrt(x)` को x के सापेक्ष अवकलित कीजिए।
यदि ex + ey = ex+y दिया है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"y)/("d"x) = -"e"^(y - x)` है।
यदि xy = ex–y है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"y)/("d"x) = logx/(1 + logx)^2`
यदि y = tanx + secx है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"^2y)/("d"x^2) = cosx/(1 - sinx)^2` है।
यदि f(x) = |cos x – sinx| है, तो `"f'"(pi/6)` ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
यदि फलन f(x) = `{{:(sinx/x + cosx",", "यदि" x ≠ 0),("k"",", "यदि" x = 0):}` बिंदु x = 0 पर f संतत है, तो k का मान है।
फलन f(x) = [x], जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है, निम्नलिखित पर संतत है।
मान लीजिए कि f(x)= |cosx| है।जब,
|sinx| चर के x के प्रत्येक मान के लिए एक अवकलनीय फलन है।
x = a पर f(x) = `{{:(|x - "a"| sin 1/(x - "a")",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = "a"):}`
सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}` से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
`8^x/x^8`
`sin^-1 1/sqrt(x + 1)`
(x + 1)2(x + 2)3(x + 3)4
tan–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.
`sin xy + x/y` = x2 – y
(x2 + y2)2 = xy
यदि yx = ey – x तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (1 + log y)^2/logy`
[0, 1] में f(x) = x(x – 1)2
रोले के प्रमेय का प्रयोग करते हुए वक् y = x (x – 4), x Î [0, 4] पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
[0, π] में f(x) = sinx – sin2x
फलन f(x) = cot x निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है।
फलन f(x) = `"e"^|x|`
यदि y = `sqrt(sinx + y)` है, तो `"dy"/"dx"` बराबर है।
