Question

मान लीजिए कि सभी x ∈ R के लिए, f(x) = x|x| तो x = 0 पर, f (x) की अवकलजता की चर्चा कीजिए।

Answer 1

हम f को पुनः निम्नलिखित रूप में लिख सकते है: f(x) = `{{:(x^2",", "if" x ≥ 0),(-x^2",", "if" x < 0):}`

अब Lf ′(0) = `lim_("h" -> 0^-) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`

= `lim_("h" -> 0^-) (-"h"^2 - 0)/"h"`

= `lim_("h" -> 0^-) -  "h"`

= 0

 तथा Rf ′(0) = `lim_("h" -> 0^+) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`

= `lim_("h" -> 0^+) ("h"^2 - 0)/"h"`

= `lim_("h" -> 0^+) "h"`

= 0

क्योंकि वाम अवकलज और दक्षिण अवकलज दोनों बराबर हैं 

अत: x = 0 पर f अवकलनीय है।