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प्रश्न
मान लीजिए कि सभी x ∈ R के लिए, f(x) = x|x| तो x = 0 पर, f (x) की अवकलजता की चर्चा कीजिए।
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उत्तर
हम f को पुनः निम्नलिखित रूप में लिख सकते है: f(x) = `{{:(x^2",", "if" x ≥ 0),(-x^2",", "if" x < 0):}`
अब Lf ′(0) = `lim_("h" -> 0^-) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) (-"h"^2 - 0)/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) - "h"`
= 0
तथा Rf ′(0) = `lim_("h" -> 0^+) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^+) ("h"^2 - 0)/"h"`
= `lim_("h" -> 0^+) "h"`
= 0
क्योंकि वाम अवकलज और दक्षिण अवकलज दोनों बराबर हैं
अत: x = 0 पर f अवकलनीय है।
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x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:(|x|cos 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
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