Question

`[0, pi/2]` esa f(x) = `sin^4x + cos^4x` 

Answer 1

हमारे पास है, `[0, pi/2]` esa f(x) = `sin^4x + cos^4x` 

हम जानते हैं कि sin x और cos x स्थितियां और अवकलनीय हैं

∴ sin4x और cos4x और इसलिए sin4x + cos4x संतत और अवकलनीय हैं

अब f(0) = 0 + 1 = 1 और `"f"(pi/2)` = 1 + 0 = 1

⇒ f(0) = `"f"(pi/2)`

अतः रोले के प्रमेय की शर्तें संतुष्ट हैं।

इसलिए, कम से कम एक `"c" ∈ (0, pi/2)`  ऐसा मौजूद है कि f'(c) = 0

∴ `4sin^3"c" cos "c" - 4cos^3"c" sin"c"` = 0

⇒ `4sin"c" cos"c" (sin^2"c" - cos^2"c")` = 0

⇒ `4sin"c" cos"c"(-cos 2"c")` = 0

⇒ `-2 sin 2"c" * cos 2"c"` = 0

⇒ sin 4c = 0

⇒ 4c = π

⇒ c = `pi/4 ∈ (0, pi/2)`.

इसलिए, रोले की प्रमेय की पुष्टि हो गई है।