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प्रश्न
p और q के ऐसे मान ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` बिंदु x = 1 पर अवकलनीय हो।
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उत्तर
दिया गया है कि: f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` x = 1 पर
L.H.L. f'(c) = `lim_(x -> 1^-) ("f"(x) - "f"("c"))/(x - "c")`
⇒ f'(1) = `lim_(x -> 1^-) ("f"(x) - "f"(1))/(x - 1)`
= `lim_(x -> 1^-) ((x^2 + 3x + "p") - (1 + 3 + "p"))/(x - 1)`
= `lim_("h" -> 0) ([(1 - "h")^2 + 3(1 - "h") + "p"] - [4 + "p"])/(1 - "h" - 1)`
= `lim_("h" -> 0) ([1 + "h"^2 - 2"h" + 3 - 3"h" + "p"] - [4 + "p"])/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) (["h"^2 - 5"h" + 4 + "p"] - [4 + "p"])/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ("h"^2 - 5"h" + 4 + "p" - 4 - "p")/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ("h"^2 - 5"h")/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ("h"["h" - 5])/(-"h")`
= 5
R.H.L. f'(1) = `lim_(x -> 1^+) ("f"(x) - "f"(1))/(x - 1)`
= `lim_(x -> 1^+) (("q"x + 2) - (1 + 3 + "p"))/(x - 1)`
= `lim_("h" -> 0) (["q"(1 + "h") + 2] - [4 + "p"])/(1 + "h" - 1)`
= `lim_("h" -> 0) ("q" + "qh" + 2 - 4 - "p")/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ("qh" + "q" - 2 - "p")/"h"`
मौजूदा सीमा के लिए
q – 2 – p = 0
⇒ q – p = 2
⇒ `lim_("h" -> 0) ("qh" - 0)/"h"` = q
यदि L.H.L. f'(1) = R.H.L. f'(1) फिर q = 5
अब q का मान समीकरण (i) में रखने पर
5 – p = 2
⇒ p = 3.
अत: p का मान 3 है और q का 5 है।
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