Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = y/x`
Advertisements
उत्तर
यह देखते हुए: xm . yn = (x + y)m+n
दोनों तरफ से log लेना
log xm . yn = log (x + y)m+n ......[∵ log xy = log x + log y]
⇒ log xm + log yn = (m + n) log (x + y)
⇒ m log x + n log y = (m + n) log (x + y)
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
⇒ `"m" * "d"/"dx" log x + "n" * "d"/"dx" log y = ("m" + "n") "d"/"dx" log (x + y)`
⇒ `"m" * 1/x + "n" * 1/y * "dy"/"dx" = ("m" + "n") * 1/(x + y) (1 + "dy"/"dx")`
⇒ `"m"/x + "n"/y * "dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) * (1 + "dy"/"dx")`
⇒ `"m"/x + "n"/y * "dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) + ("m" + "n")/(x + y) * "dy"/"dx"`
⇒ `"n"/y * "dy"/"dx" - ("m" + "n")/(x + y) * "dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) - "m"/x`
⇒ `("n"/y - ("m" + "n")/(x + y))"dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) - "m"/x`
⇒ `(("n"x + "n"y - "m"y - "n"y)/(y(x + y)))"dy"/"dx" = (("m"x + "n"x - "m"x - "m"y)/(x(x + y)))`
⇒ `(("n"x - "m"y)/(y(x + y))) "dy"/"dx" = (("n"x- "m"y)/(x(x + y)))`
⇒ `"dy"/"dx" = ("n"x - "m"y)/(x(x + y)) xx (y(x + y))/("n"x - "m"y)`
⇒ `"dy"/"dx" = y/x`
इसलिए साबित हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(3x2 – 9x + 5)9
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
cos (a cos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
xx + xa + ax + aa, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
f(x) = `1/(x - 1)` दिया है। संयोजित फलन y = f [f(x)] में असंतत के बिंदु ज्ञात कीजिए।
यदि y = `sin^-1 {xsqrt(1 - x) - sqrt(x) sqrt(1 - x^2)}` और 0 < x < 1 है, तो `("d"y)/(dx)` ज्ञात कीजिए।
यदि xy = ex–y है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"y)/("d"x) = logx/(1 + logx)^2`
f(x) = `{{:(2x + 3",", "if" -3 ≤ x < - 2),(x + 1",", "if" -2 ≤ x < 0),(x + 2",", "if" 0 ≤ x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
x के सापेक्ष sec (tan–1x) का अवकल गुणांक है
यदि u = `sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))` और v = `tan^-1 ((2x)/(1 - x^2))`, है, तो `"du"/"dv"` है
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
एक संतत फलन में कुछ ऐसे बिंदु हो सकते हैं जहाँ सीमाओं का अस्तित्व न हों।
x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
x = 4 पर f(x) = `{{:(|x - 4|/(2(x - 4))",", "यदि" x ≠ 4),(0",", "यदि" x = 4):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:(("e"^(1/x))/(1 + "e"^(1/x))",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
x = 0 पर, f(x) = `{{:(x^2 sin 1/x",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।
`8^x/x^8`
`sin sqrt(x) + cos^2 sqrt(x)`
`sin^-1 1/sqrt(x + 1)`
`tan^-1 (("a"cosx - "b"sinx)/("b"cosx - "a"sinx)), - pi/2 < x < pi/2` तथा `"a"/"b" tan x > -1`
x = `"e"^theta (theta + 1/theta)`, y= `"e"^-theta (theta - 1/theta)`
x = `(1 + log "t")/"t"^2`, y = `(3 + 2 log "t")/"t"`
sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
यदि y = `(cos x)^((cos x)^((cosx)....oo)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (y^2 tanx)/(y log cos x - 1)`
यदि x = sint और y = sin pt है तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - x^2) ("d"^2"y")/("dx"^2) - x "dy"/"dx" + "p"^2y` = 0 है।
यदि f(x) = |cosx| तो `"f'"(pi/4)` = ______
यदि f(x) = |cosx – sinx| है तो `"f'"(pi/3)` = ______
