Advertisements
Advertisements
प्रश्न
यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = y/x`
Advertisements
उत्तर
यह देखते हुए: xm . yn = (x + y)m+n
दोनों तरफ से log लेना
log xm . yn = log (x + y)m+n ......[∵ log xy = log x + log y]
⇒ log xm + log yn = (m + n) log (x + y)
⇒ m log x + n log y = (m + n) log (x + y)
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
⇒ `"m" * "d"/"dx" log x + "n" * "d"/"dx" log y = ("m" + "n") "d"/"dx" log (x + y)`
⇒ `"m" * 1/x + "n" * 1/y * "dy"/"dx" = ("m" + "n") * 1/(x + y) (1 + "dy"/"dx")`
⇒ `"m"/x + "n"/y * "dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) * (1 + "dy"/"dx")`
⇒ `"m"/x + "n"/y * "dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) + ("m" + "n")/(x + y) * "dy"/"dx"`
⇒ `"n"/y * "dy"/"dx" - ("m" + "n")/(x + y) * "dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) - "m"/x`
⇒ `("n"/y - ("m" + "n")/(x + y))"dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) - "m"/x`
⇒ `(("n"x + "n"y - "m"y - "n"y)/(y(x + y)))"dy"/"dx" = (("m"x + "n"x - "m"x - "m"y)/(x(x + y)))`
⇒ `(("n"x - "m"y)/(y(x + y))) "dy"/"dx" = (("n"x- "m"y)/(x(x + y)))`
⇒ `"dy"/"dx" = ("n"x - "m"y)/(x(x + y)) xx (y(x + y))/("n"x - "m"y)`
⇒ `"dy"/"dx" = y/x`
इसलिए साबित हुआ।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(3x2 – 9x + 5)9
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
sin3 x + cos6 x
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(cos^(-1) x/2)/sqrt(2x+7)`, −2 < x < 2
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(log x)log x, x > 1
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
cos (a cos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।
यदि y = `sin^-1 {xsqrt(1 - x) - sqrt(x) sqrt(1 - x^2)}` और 0 < x < 1 है, तो `("d"y)/(dx)` ज्ञात कीजिए।
यदि y = tanx + secx है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"^2y)/("d"x^2) = cosx/(1 - sinx)^2` है।
फलन f(x) = [x], जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है, निम्नलिखित पर संतत है।
मान लीजिए कि f(x)= |cosx| है।जब,
फलन f(x) = |x| + |x – 1|
x के सापेक्ष sec (tan–1x) का अवकल गुणांक है
फलन f(x) = x3 + 2x2 – 1 को x = 1 पर संततता की जाँच कौजिए।
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
x = 2 पर, f(x) = `{{:(1 + x",", "यदि" x ≤ 2),(5 - x",", "यदि" x > 2):}`
दर्शाइए कि x = 5 पर, f(x) = |x – 5| संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।
`tan^-1 (("a"cosx - "b"sinx)/("b"cosx - "a"sinx)), - pi/2 < x < pi/2` तथा `"a"/"b" tan x > -1`
यदि x = asin2t (1 + cos2t) और y = b cos2t (1–cos2t) तो दर्शाइए कि, x = `pi/4` पर;`("dy"/"dx") = "b"/"a"`
sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
tan–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.
sec(x + y) = xy
यदि y = `(cos x)^((cos x)^((cosx)....oo)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (y^2 tanx)/(y log cos x - 1)`
[0, 1] में f(x) = x(x – 1)2
[–1, 1] में f(x) = log(x2 + 2) – log3
[0, 1] में f(x) = x3 – 2x2 – x + 3
p और q के ऐसे मान ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` बिंदु x = 1 पर अवकलनीय हो।
यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
यदि y = `sqrt(sinx + y)` है, तो `"dy"/"dx"` बराबर है।
यदि f अपने प्राँत D पर संतत है, तो |f| भी D पर संतत होगा।
