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Question
यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = y/x`
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Solution
यह देखते हुए: xm . yn = (x + y)m+n
दोनों तरफ से log लेना
log xm . yn = log (x + y)m+n ......[∵ log xy = log x + log y]
⇒ log xm + log yn = (m + n) log (x + y)
⇒ m log x + n log y = (m + n) log (x + y)
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
⇒ `"m" * "d"/"dx" log x + "n" * "d"/"dx" log y = ("m" + "n") "d"/"dx" log (x + y)`
⇒ `"m" * 1/x + "n" * 1/y * "dy"/"dx" = ("m" + "n") * 1/(x + y) (1 + "dy"/"dx")`
⇒ `"m"/x + "n"/y * "dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) * (1 + "dy"/"dx")`
⇒ `"m"/x + "n"/y * "dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) + ("m" + "n")/(x + y) * "dy"/"dx"`
⇒ `"n"/y * "dy"/"dx" - ("m" + "n")/(x + y) * "dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) - "m"/x`
⇒ `("n"/y - ("m" + "n")/(x + y))"dy"/"dx" = ("m" + "n")/(x + y) - "m"/x`
⇒ `(("n"x + "n"y - "m"y - "n"y)/(y(x + y)))"dy"/"dx" = (("m"x + "n"x - "m"x - "m"y)/(x(x + y)))`
⇒ `(("n"x - "m"y)/(y(x + y))) "dy"/"dx" = (("n"x- "m"y)/(x(x + y)))`
⇒ `"dy"/"dx" = ("n"x - "m"y)/(x(x + y)) xx (y(x + y))/("n"x - "m"y)`
⇒ `"dy"/"dx" = y/x`
इसलिए साबित हुआ।
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sin3 x + cos6 x
यदि किसी c > 0 के लिए (x – a)2 + (y – b)2 = c2 है तो सिद्ध कीजिए कि `[1+ (dy/dx)^2]^(3/2)/((d^2y)/dx^2)`, a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
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(d) असत्य |
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cos |x| प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है।
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x = 0 पर f(x) = `{{:(("e"^(1/x))/(1 + "e"^(1/x))",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 1 पर f(x) = |x| + |x − 1|
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x = 2 पर f(x) = `{{:((2^(x + 2) - 16)/(4^x - 16)",", "यदि" x ≠ 2),("k"",", "यदि" x = 2):}`
`cos(tan sqrt(x + 1))`
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