Advertisements
Advertisements
Question
यदि x = asin2t (1 + cos2t) और y = b cos2t (1–cos2t) तो दर्शाइए कि, x = `pi/4` पर;`("dy"/"dx") = "b"/"a"`
Advertisements
Solution
दिया गया है: x = asin2t (1 + cos 2t) और y = bcos2t (1 – cos 2t).
दोनों प्राचलिक फलनों को अलग करना w.r.t. t
`"dx"/"dt" = "a"[sin2"t" * "d"/"dt" (1 + cos 2"t") + (1 + cos 2"t") * "d"/"dt" sin 2"t"]`
= a[sin 2t .(– sin 2t) + (1 + cos 2t)(cos 2t).2]
= a[2(cos22t – sin22t + 2 cos 2t]
= a[2 cos22t – sin22t) + 2 cos 2t]
= a[2 cos 4t + 2 cos 2t] ....[∵ cos 2x = cos2x – sin2x]
= 2a[cos 4t + cos 2t]
y = b cos 2t (1 – cos 2t)
`"dy"/"dx" = "b"[cos 2"t" * "d"/"dt" (1 - cos 2"t") + (1 - cos 2"t") * "d"/"dt" (cos 2"t")]`
= b[cos 2t . sin 2t.2 + (1 – cos 2t).(– son 2t).2
= b[sin 4t – 2 sin 2t - 2 sin 2t + 2 sin 2t cos 2t]
= b[2 sin 4t – 2 sin 2t]
= 2b (sin 4t – sin 2t)
∴ `"dy"/"dx" = ("dy"/"dt")/("dx"/"dt")`
= `(2"b"[sin 4"t" - sin2"t"])/(2"a"[cos 4"t" + cos 2"t"])`
= `"b"/"a" [(sin 4"t" - sin 2"t")/(cos 4"t" + cos 2"t")]`
t = `pi/4` रखिये
∴ x = `pi/4` पर;`("dy"/"dx") = "b"/"a" [(sin 4(pi/4) - sin 2* (pi/4))/(cos 4(pi/4) + cos 2*(pi/4))]`
= `"b"/"a" [(sin pi - sin pi/2)/(cos pi + cos pi/2)]`
= `"b"/"a" [(0 - 1)/(-1 + 0)]`
= `"b"/"a"((-1)/(-1))`
= `"b"/'a"`
इसलिए, x = `pi/4` पर;`("dy"/"dx") = "b"/"a"`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(3x2 – 9x + 5)9
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`x^(x^2-3) + (x - 3)^(x^2), x > 3` के लिए।
यदि y = 12 (1 – cos t), x = 10 (t – sin t), `-pi/2 < t < pi/2` है तो `dy/dx` ज्ञात कीजिए।
अचर k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f ] x = 0 पर संतत हो, जहाँ f(x) = `{{:((1 - cos4x)/(8x^2)",", x ≠ 0),("k"",", x = 0):}` है।
यदि y = tanx + secx है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"^2y)/("d"x^2) = cosx/(1 - sinx)^2` है।
f(x) = `{{:(2x + 3",", "if" -3 ≤ x < - 2),(x + 1",", "if" -2 ≤ x < 0),(x + 2",", "if" 0 ≤ x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
मान लीजिए कि f(x)= |cosx| है।जब,
उन बिंदुओं का सम्मुच्चय, जहाँ f(x) = |x – 3| cosx द्वारा दिया जाने वाला फलन अवकलनीय है,
यदि u = `sin^-1 ((2x)/(1 + x^2))` और v = `tan^-1 ((2x)/(1 - x^2))`, है, तो `"du"/"dv"` है
फलन f (x) = x (x – 2), x ∈ [1, 2] के लिए, माध्य मान प्रमेय में c का मान है
यदि f(x) = `{{:("a"x + 1,"if" x ≥ 1),(x + 2,"if" x < 1):}` संतत है, तो a ______ के बराबर मान होना चाहिए।
यदि y = `sec^-1 ((sqrt(x) + 1)/(sqrt(x + 1))) + sin^-1((sqrt(x) - 1)/(sqrt(x) + 1))` है, तो `"dy"/"dx"` = ______ है।
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
sinn (ax2 + bx + c)
`sec^-1 (1/(4x^3 - 3x)), 0 < x < 1/sqrt(2)`
x = `"t" + 1/"t"`, y = `"t" - 1/"t"`
x = 3cosθ – 2cos3θ, y = 3sinθ – 2sin3θ
यदि x = ecos2t और y = esin2t तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (-y log x)/(xlogy)` है।
यदि y = `(cos x)^((cos x)^((cosx)....oo)` तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (y^2 tanx)/(y log cos x - 1)`
यदि x sin (a + y) + sin a cos (a + y) = 0 तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (sin^2("a" + y))/sin"a"`
यदि y = tan–1x, तो केवल y के पदों में `("d"^2y)/("dx"^2)` ज्ञात कीजिए।
[–1, 1] में f(x) = log(x2 + 2) – log3
[0, 2π] में वक् y = (cosx – 1) पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
रोले के प्रमेय का प्रयोग करते हुए वक् y = x (x – 4), x Î [0, 4] पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
वक्र y = (x – 3)2 पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा (3, 0) और (4, 1) बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा के समांतर हो।
फलन f(x) = `(4 - x^2)/(4x - x^3)`
यदि f.g बिंदु x = a पर संतत है, तो f और g बिंदु x = a पर पृथक-पृथक रूप से संतत होते हैं।
