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Question
[0, 1] में f(x) = x3 – 2x2 – x + 3
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Solution
हमारे पास, [0, 1] में f(x) = x3 – 2x2 – x + 3 है।
क्योंकि, f(x) एक बहुपद फलन है, यह [0, 1] में संतत है और (0, 1) में अवकलनीय है।
इस प्रकार, माध्य मान प्रमेय की शर्तें संतुष्ट होती हैं।
इसलिए, एक वास्तविक संख्या c ∈ (0, 1) मौजूद है जैसे कि
f'(c) = `("f"(1) - "f"(0))/(1 - 0)`
⇒ 3c2 – 4c – 1 = `([1 - 2 - 1 + 3] - [0 + 3])/(1 - 0)`
⇒ 3c2 – 4c – 1 = –2
⇒ 3c2 – 4c + 1 = 0
⇒ (3c – 1)(c – 1) = 0
⇒ c = `1/3 ∈ (0, 1)`
इसलिए, माध्य मान प्रमेय को सत्यापित किया गया है।
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क्या f(x) = x2 − sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(log x)log x, x > 1
यदि f(x) = `{{:((x^3 + x^2 - 16x + 20)/(x - 2)^2",", x ≠ 2),("k"",", x = 2):}` पर संतत है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
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f(x) = `{{:(2x + 3",", "if" -3 ≤ x < - 2),(x + 1",", "if" -2 ≤ x < 0),(x + 2",", "if" 0 ≤ x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
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निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
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(a) |x| |
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| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
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(d) असत्य |
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cos x के सापेक्ष sin x का अवकलज ______ है।
y = |x – 1| एक संतत फलन है।
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x = 5 पर f(x) = `{{:(3x - 8",", "यदि" x ≤ 5),(2"k"",", "यदि" x > 5):}`
दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
`2^(cos^(2_x)`
`sin^-1 1/sqrt(x + 1)`
`tan^-1 (sqrt((1 - cosx)/(1 + cosx))), - pi/4 < x < pi/4`
(x2 + y2)2 = xy
[0, 1] में f(x) = x(x – 1)2
रोले के प्रमेय का प्रयोग करते हुए वक् y = x (x – 4), x Î [0, 4] पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
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यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `("d"^2"y")/("dx"^2)` = 0
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