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Question
रोले के प्रमेय का प्रयोग करते हुए वक् y = x (x – 4), x Î [0, 4] पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है।
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Solution
हमारे पास, y = x(x – 4), x ∈ [0, 4]
क्योंकि दिया गया फलन बहुपद है, यह संतत और अवकलनीय है।
साथ ही y(0) = y(4) = 0
तो, भूमिका के प्रमेय की शर्तें संतुष्ट हैं।
अत: एक बिंदु c ∈ (0, 4) का अस्तित्व इस प्रकार है कि f'(c) = 0
⇒ 2c – 4 = 0
⇒ c = 2
⇒ x = 2 और y(2)
= 2(2 – 4)
= –4
इसलिए, वक्र पर वांछित बिंदु, जहाँ खींची गई स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है, (2, - 4) है।
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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
sin3 x + cos6 x
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x = 2 पर f(x) = `{{:((2^(x + 2) - 16)/(4^x - 16)",", "यदि" x ≠ 2),("k"",", "यदि" x = 2):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:((1 - cos "k"x)/(xsinx)",", "यदि" x ≠ 0),(1/2",", "यदि" x = 0):}`
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`cos(tan sqrt(x + 1))`
`tan^-1 (secx + tanx), - pi/2 < x < pi/2`
`tan^-1 ((3"a"^2x - x^3)/("a"^3 - 3"a"x^2)), (-1)/sqrt(3) < x/"a" < 1/sqrt(3)`
tan–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.
`sin xy + x/y` = x2 – y
sec(x + y) = xy
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
यदि f(x) = 2x और g(x) = `x^2/2 + 1` है तो निम्नलिखित में से कौन - सा फलन असंतत हो सकता है?
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यदि x = t2 और y = t3 है, तो `("d"^2"y")/("dx"^2)` है।
त्रिकोणमितीय एवं त्रिकोणमितीय व्युत्क्रम फलन अपने-अपने प्राँतों में अवकलनीय होते हैं।
यदि f.g बिंदु x = a पर संतत है, तो f और g बिंदु x = a पर पृथक-पृथक रूप से संतत होते हैं।
