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Question
मान लीजिए कि सभी x ∈ R के लिए, f(x) = x|x| तो x = 0 पर, f (x) की अवकलजता की चर्चा कीजिए।
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Solution
हम f को पुनः निम्नलिखित रूप में लिख सकते है: f(x) = `{{:(x^2",", "if" x ≥ 0),(-x^2",", "if" x < 0):}`
अब Lf ′(0) = `lim_("h" -> 0^-) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) (-"h"^2 - 0)/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) - "h"`
= 0
तथा Rf ′(0) = `lim_("h" -> 0^+) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^+) ("h"^2 - 0)/"h"`
= `lim_("h" -> 0^+) "h"`
= 0
क्योंकि वाम अवकलज और दक्षिण अवकलज दोनों बराबर हैं
अत: x = 0 पर f अवकलनीय है।
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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
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x = 2 पर f(x) = `{{:((2^(x + 2) - 16)/(4^x - 16)",", "यदि" x ≠ 2),("k"",", "यदि" x = 2):}`
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बिंदु x = 4 पर संतत है।
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(x + 1)2(x + 2)3(x + 3)4
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बिंदुओं का वह समुच्चय, जहाँ f(x) = |2x − 1| sinx| से दिये जाना वाला फलन f अवकलनीय है, निम्नलिखित है।
यदि y = `sqrt(sinx + y)` है, तो `"dy"/"dx"` बराबर है।
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