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Question
`tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 + x^2) - sqrt(1 - x^2))), -1 < x < 1, x ≠ 0`
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Solution
माना y = `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 + x^2) - sqrt(1 - x^2)))`
x2 = cos 2θ रखने पर
∴ θ = `1/2 cos^-1 x^2`
y = `tan^-1 ((sqrt(1 + cos 2theta) + sqrt(1 - cos 2theta))/(sqrt(1 + cos 2theta) - sqrt(1 - cos 2theta)))`
⇒ y = `tan^-1 ((sqrt(2cos^2theta) + sqrt(2sin^2theta))/(sqrt(2cos^2theta) - sqrt(2sin^2theta)))`
⇒ y = `tan ((sqrt(2) cos theta + sqrt(2) sin theta)/(sqrt(2) cos theta - sqrt(2) sin theta))`
⇒ y = `tan^-1 ((cos theta + sin theta)/(cos theta - sin theta))`
⇒ y = `tan^-1 [((costheta)/(costheta) + (sintheta)/(costheta))/((costheta)/(costheta) - (sintheta)/(costheta))]`
⇒ y = `tan^-1 [(1 + tan theta)/(1 - tan theta)]`
⇒ y = `tan^-1 [(tan pi/4 + tan theta)/(1 - tan pi/4 * tan theta)]`
⇒ y = `tan^-1 [tan (pi/4 + theta)]`
⇒ y = `pi/4 + theta`
⇒ y = `pi/4 + 1/2 cos^-1 x^2`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
`"dy"/"dx" = "d"/"dx" (pi/4) + 1/2 "d"/"dx" (cos^-1 x^2)`
= `0 + 1/2 xx (-1)/sqrt(1 - x^4) * "d"/"dx" (x^2)`
= `(-1.2x)/(2sqrt(1 - x^4)`
= `- x/sqrt(1 - 4x^4)`
इसलिए, `"dy"/"dx" = - x/sqrt(1 - x^4)`
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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`cot^(-1) [(sqrt(1+sinx) + sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx) - sqrt(1-sinx))], 0 < x < pi/2`
फलन f(x) = sin x . cos x के सांतत्य की चर्चा कीजिए।
f(x) = `1/(x - 1)` दिया है। संयोजित फलन y = f [f(x)] में असंतत के बिंदु ज्ञात कीजिए।
यदि y = tan(x + y) है, तो `("d"y)/("d"x)` ज्ञात कीजिए।
यदि f(x) = |cos x|, है, तो f ′ `((3pi)/4)` ज्ञात कीजिए।
`cos^-1(2xsqrt(1 - x^2))` के सापेक्ष `tan^-1 (sqrt(1 - x^2)/x)` को अवकलित कीजिए, जहाँ `x ∈ (1/sqrt(2), 1)` है।
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
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(d) असत्य |
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x = 1 पर f(x) = `{{:(x^2/2",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(2x^2 - 3x + 3/2",", "यदि" 1 < x ≤ 2):}`
x = 2 पर f(x) = `{{:((2^(x + 2) - 16)/(4^x - 16)",", "यदि" x ≠ 2),("k"",", "यदि" x = 2):}`
सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}` से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
`cos^-1 ((sinx + cosx)/sqrt(2)), (-pi)/4 < x < pi/4`
`tan^-1 (("a"cosx - "b"sinx)/("b"cosx - "a"sinx)), - pi/2 < x < pi/2` तथा `"a"/"b" tan x > -1`
x = `(1 + log "t")/"t"^2`, y = `(3 + 2 log "t")/"t"`
sinx के सापेक्ष `x/sinx`को अवकलित कीजिए।
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[–3, 0] में f(x) = `x(x + 3)e^((–x)/2)`
p और q के ऐसे मान ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = `{{:(x^2 + 3x + "p"",", "यदि" x ≤ 1),("q"x + 2",", "यदि" x > 1):}` बिंदु x = 1 पर अवकलनीय हो।
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यदि f(x) = 2x और g(x) = `x^2/2 + 1` है तो निम्नलिखित में से कौन - सा फलन असंतत हो सकता है?
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