Advertisements
Advertisements
प्रश्न
`tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 + x^2) - sqrt(1 - x^2))), -1 < x < 1, x ≠ 0`
Advertisements
उत्तर
माना y = `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) + sqrt(1 - x^2))/(sqrt(1 + x^2) - sqrt(1 - x^2)))`
x2 = cos 2θ रखने पर
∴ θ = `1/2 cos^-1 x^2`
y = `tan^-1 ((sqrt(1 + cos 2theta) + sqrt(1 - cos 2theta))/(sqrt(1 + cos 2theta) - sqrt(1 - cos 2theta)))`
⇒ y = `tan^-1 ((sqrt(2cos^2theta) + sqrt(2sin^2theta))/(sqrt(2cos^2theta) - sqrt(2sin^2theta)))`
⇒ y = `tan ((sqrt(2) cos theta + sqrt(2) sin theta)/(sqrt(2) cos theta - sqrt(2) sin theta))`
⇒ y = `tan^-1 ((cos theta + sin theta)/(cos theta - sin theta))`
⇒ y = `tan^-1 [((costheta)/(costheta) + (sintheta)/(costheta))/((costheta)/(costheta) - (sintheta)/(costheta))]`
⇒ y = `tan^-1 [(1 + tan theta)/(1 - tan theta)]`
⇒ y = `tan^-1 [(tan pi/4 + tan theta)/(1 - tan pi/4 * tan theta)]`
⇒ y = `tan^-1 [tan (pi/4 + theta)]`
⇒ y = `pi/4 + theta`
⇒ y = `pi/4 + 1/2 cos^-1 x^2`
दोनों पक्षों में अंतर करना w.r.t. x
`"dy"/"dx" = "d"/"dx" (pi/4) + 1/2 "d"/"dx" (cos^-1 x^2)`
= `0 + 1/2 xx (-1)/sqrt(1 - x^4) * "d"/"dx" (x^2)`
= `(-1.2x)/(2sqrt(1 - x^4)`
= `- x/sqrt(1 - 4x^4)`
इसलिए, `"dy"/"dx" = - x/sqrt(1 - x^4)`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
क्या f(x) = x2 − sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(log x)log x, x > 1
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(sin x - cos x)^((sin x - cos x)), pi/4 < x < (3pi)/4`
यदि किसी c > 0 के लिए (x – a)2 + (y – b)2 = c2 है तो सिद्ध कीजिए कि `[1+ (dy/dx)^2]^(3/2)/((d^2y)/dx^2)`, a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
अचर k का मान ज्ञात कीजिए ताकि फलन f ] x = 0 पर संतत हो, जहाँ f(x) = `{{:((1 - cos4x)/(8x^2)",", x ≠ 0),("k"",", x = 0):}` है।
यदि y = tanx + secx है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"^2y)/("d"x^2) = cosx/(1 - sinx)^2` है।
यदि f(x) = |cos x – sinx| है, तो `"f'"(pi/6)` ज्ञात कीजिए।
यदि f(x) = `(sqrt(2) cos x - 1)/(cot x - 1), x ≠ pi/4` है, तो `"f"(pi/4)` का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि x = `pi/4` पर f (x) संतत बन जाए।
मान लीजिए कि f(x) = `{{:((1 - cos 4x)/x^2",", "यदि" x < 0),("a"",", "if" x = 0),(sqrt(x)/(sqrt(16) + sqrt(x) - 4)",", "यदि" x > 0):}` है। a के किस मान के लिए x = 0 पर f संतत है?
f(x) = `{{:(2x + 3",", "if" -3 ≤ x < - 2),(x + 1",", "if" -2 ≤ x < 0),(x + 2",", "if" 0 ≤ x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
f (x) = tanx द्वारा दिए जाने वाला फलन निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है
उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ फलन f(x) = `1/(log|x|)` असंतत है, ______ है।
x = 4 पर f(x) = `{{:(|x - 4|/(2(x - 4))",", "यदि" x ≠ 4),(0",", "यदि" x = 4):}`
x = a पर f(x) = `{{:(|x - "a"| sin 1/(x - "a")",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = "a"):}`
`2^(cos^(2_x)`
sinn (ax2 + bx + c)
`cos(tan sqrt(x + 1))`
`sin^-1 1/sqrt(x + 1)`
`sec^-1 (1/(4x^3 - 3x)), 0 < x < 1/sqrt(2)`
x = 3cosθ – 2cos3θ, y = 3sinθ – 2sin3θ
x = `(1 + log "t")/"t"^2`, y = `(3 + 2 log "t")/"t"`
यदि x = ecos2t और y = esin2t तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (-y log x)/(xlogy)` है।
(x2 + y2)2 = xy
यदि y = tan–1x, तो केवल y के पदों में `("d"^2y)/("dx"^2)` ज्ञात कीजिए।
[0, 1] में f(x) = x3 – 2x2 – x + 3
यदि x = sint और y = sin pt है तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - x^2) ("d"^2"y")/("dx"^2) - x "dy"/"dx" + "p"^2y` = 0 है।
फलन f(x) = `(4 - x^2)/(4x - x^3)`
[0, 2] में फलन f(x) = |x – 1| के लिए, रोले का प्रमेय प्रयुक्त है।
