Question

एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।

Answer 1

दिया गया है, f: R → R सभी x, y ∈ R, f(x) ≠ 0 के लिए समीकरण f( x + y) = f(x) f(y) को संतुष्ट करता है।

आइए हम कोई ऐसा बिंदु x = 0 लें, जिस पर फलन f(x) अवकलनीय हो।

∴ f'(0) = `lim_("h" -> 0) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`

2 = `lim_("h" -> 0) ("f"(0) * "f"("h") - "f"(0))/"h"`   ......[∵ f(0) = f(h)]  ....(i)

⇒ 2 = `lim_("h" -> 0) ("f"(0)["f"("h") - 1])/"h"`

अब f'(x) = `lim_("h" -> 0) ("f"(x + "h") - "f"(x))/"h"`

= `lim_("h" -> 0) ("f"(x) * "f"("h") - "f"(x))/"h"`  .....[∵  f(x + y) = f(x) . f(y)]

= `lim_("h" -> 0) ("f"(x)["f"("h") - 1])/"h"`

= 2f(x)

समीकरण (i) से

इसलिए, f'(x) = 2f(x)