Question

यदि किसी c > 0 के लिए (x – a)² + (y – b)² = c² है तो सिद्ध कीजिए कि `[1+ (dy/dx)^2]^(3/2)/((d^2y)/dx^2)`, a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।

Answer 1

दिया गया है, (x – a)² + (y – b)² = c²  ...(1)

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`=> 2 (x - a) + 2(y - b) dy/dx = 0`

`=> (x - a) + (y - b) dy/dx = 0`  ...(2)

पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

`1 + dy/dx * dy/dx + (y - b) (d^2 y)/dx^2` = 0

`1 + (dy/dx)^2 + (y - b) (d^2y)/dx^2` = 0

`=> (y - b) = - {(1 + (dy/dx)^2)/((d^2y)/dx^2)}`  ...(3)

(2) में (y – b) का मान रखने पर,

`(x - a) = {(1 + (dy/dx)^2)/((d^2y)/dx^2)}(dy/dx)`   ...(4)

(1) में (3) व (4) से (x – a) तथा (y – b) का मान रखने से,

`{1 + (dy/dx)^2}^2/((d^2y)/dx^2)^2 * (dy/dx)^2 + {(1 + (dy/dx)^2)/((d^2y)/dx^2)} = c^2`

`((d^2y)/dx^2)^2` से गुणा करने पर,

`[1 + (dy/dx)^2]^2 (dy/dx)^2 + [1 + (dy/dx)^2]^2 = c^2 ((d^2y)/dx)^2`

`=> [1 + (dy/dx)^2]^2 [(dy/dx)^2 + 1] = c^2 ((d^2y)/dx^2)^2`

`=> {1 + (dy/dx)^2}^3 = c^2 ((d^2y)/dx^2)^2`

वर्गमूल लेने पर,

`therefore {1 + (dy/dx)^2}^(3//2)/((d^2y)/dx^2)` = c   ...(a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।)