Advertisements
Advertisements
प्रश्न
f(x) = `{{:(2x + 3",", "if" -3 ≤ x < - 2),(x + 1",", "if" -2 ≤ x < 0),(x + 2",", "if" 0 ≤ x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
Advertisements
उत्तर
f(x) की अवकलनीयता के संदेहास्पद बिंदु केवल x = – 2 और x = 0 हैं।
x = – 2 पर अवकलनीयता के लिए:
अब Lf'(–2) = `lim_("h" -> 0) ("f"(-2 + "h") "f"(-2))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) (2(-2 + "h") + 3 - (-2 + 1))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) (2"h")/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) 2`
= 2
तथा Rf'(–2) = `lim_("h" -> 0^+) ("f"(-2 + "h") - "f"(-2))/"h"`
= `lim_("h" ->0^+) (-2 + "h" + 1 - (-2 + 1))/"h"`
= `lim_("h" ->0^+) ("h" - 1 - (-1))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^+) "h"/"h"`
= 1
इस प्रकार, R f′(–2) ≠ Lf′(–2).
अत:, x = – 2 पर, f अवकलनीय नहीं है।
इसी प्रकार, x = 0 पर फलन की अवकलनीयता के लिए, हमें
Lf'(0) = `lim_("h" -> 0^-) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) (0 + "h" + 1 - (0 + 2))/"h"`
= `lim_("h" -> 0^-) ("h" - 1)/"h"`
= `lim_("h" ->0^-) (1 - 1/"h")`
जिसका अस्तित्व नहीं है।
अतः, x = 0 पर फलन अवकलनीय नहीं है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
(3x2 – 9x + 5)9
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
xx + xa + ax + aa, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
यदि किसी c > 0 के लिए (x – a)2 + (y – b)2 = c2 है तो सिद्ध कीजिए कि `[1+ (dy/dx)^2]^(3/2)/((d^2y)/dx^2)`, a और b से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
यदि cos y = x cos (a + y) तथा cos a ≠ ±1 है तो सिद्ध कीजिए कि `dy/dx = (cos^2 (a + y))/(sin a)`।
यदि f(x) = `{{:((x^3 + x^2 - 16x + 20)/(x - 2)^2",", x ≠ 2),("k"",", x = 2):}` पर संतत है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
[3, 5] में फलन f (x) = (x – 3) (x – 6) (x – 9 के लिए माध्यमान प्रमेय का सत्यापन कीजिए।
उन बिंदुओं की संख्या जिन पर फलन f(x) = `1/(x - [x])` संतत नहीं है,
फलन f(x) = e x sinx, x ∈ π [0, π] के लिए, रोले के प्रमेय में c का मान है
उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ फलन f(x) = `1/(log|x|)` असंतत है, ______ है।
यदि f(x) = `{{:("a"x + 1,"if" x ≥ 1),(x + 2,"if" x < 1):}` संतत है, तो a ______ के बराबर मान होना चाहिए।
x के सापेक्ष log10 का अवकलज ______ है।
|sinx| चर के x के प्रत्येक मान के लिए एक अवकलनीय फलन है।
x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
x = 4 पर f(x) = `{{:(|x - 4|/(2(x - 4))",", "यदि" x ≠ 4),(0",", "यदि" x = 4):}`
x = 0 पर f(x) = `{{:(("e"^(1/x))/(1 + "e"^(1/x))",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 2 पर f(x) = `{{:((2^(x + 2) - 16)/(4^x - 16)",", "यदि" x ≠ 2),("k"",", "यदि" x = 2):}`
एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।
`tan^-1 (("a"cosx - "b"sinx)/("b"cosx - "a"sinx)), - pi/2 < x < pi/2` तथा `"a"/"b" tan x > -1`
x = `"t" + 1/"t"`, y = `"t" - 1/"t"`
`sin xy + x/y` = x2 – y
यदि ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, तो दर्शाइए कि `"dy"/"dx" * "dx"/"dy"` = 1
[0, 1] में f(x) = x(x – 1)2
f(x) = `{{:(x^2 + 1",", "यदि" 0 ≤ x ≤ 1),(3 - x",", "यदि" 1 ≤ x ≤ 2):}` द्वारा दिए जाने वाले फलन पर रोले के प्रमेय की अनुप्रयोगता पर चर्चा कीजिए।
माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x2 – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
यदि x = sint और y = sin pt है तो सिद्ध कीजिए कि `(1 - x^2) ("d"^2"y")/("dx"^2) - x "dy"/"dx" + "p"^2y` = 0 है।
यदि y = `sqrt(sinx + y)` है, तो `"dy"/"dx"` बराबर है।
फलन f(x) = `x + 1/x`, x ∈ [1, 3] के लिए, माध्य मान प्रमेय में c का मान है।
यदि f(x) = |cosx – sinx| है तो `"f'"(pi/3)` = ______
यदि f.g बिंदु x = a पर संतत है, तो f और g बिंदु x = a पर पृथक-पृथक रूप से संतत होते हैं।
