Question

f(x) = `{{:(2x + 3",",  "if"  -3 ≤ x < - 2),(x + 1",",  "if"  -2 ≤ x < 0),(x + 2",",  "if"  0 ≤ x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।

Answer 1

f(x) की अवकलनीयता के संदेहास्पद बिंदु केवल x = – 2 और x = 0 हैं।

x = – 2 पर अवकलनीयता के लिए:

अब Lf'(–2) = `lim_("h" -> 0) ("f"(-2 + "h")  "f"(-2))/"h"`

= `lim_("h" -> 0^-) (2(-2 + "h") + 3 - (-2 + 1))/"h"`

= `lim_("h" -> 0^-)  (2"h")/"h"`

= `lim_("h" -> 0^-) 2`

= 2

तथा Rf'(–2) = `lim_("h" -> 0^+) ("f"(-2 + "h") - "f"(-2))/"h"`

= `lim_("h" ->0^+) (-2 + "h" + 1 - (-2 + 1))/"h"`

= `lim_("h" ->0^+) ("h" - 1 - (-1))/"h"`

= `lim_("h" -> 0^+) "h"/"h"`

= 1

इस प्रकार, R f′(–2) ≠ Lf′(–2).

अत:, x = – 2 पर, f अवकलनीय नहीं है।

इसी प्रकार, x = 0 पर फलन की अवकलनीयता के लिए, हमें

Lf'(0) = `lim_("h" -> 0^-) ("f"(0 + "h") - "f"(0))/"h"`

= `lim_("h" -> 0^-) (0 + "h" + 1 - (0 + 2))/"h"`

= `lim_("h" -> 0^-) ("h" - 1)/"h"`

= `lim_("h" ->0^-) (1 - 1/"h")`

जिसका अस्तित्व नहीं है।

अतः, x = 0 पर फलन अवकलनीय नहीं है।