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प्रश्न
`tan^-1 (("a"cosx - "b"sinx)/("b"cosx - "a"sinx)), - pi/2 < x < pi/2` तथा `"a"/"b" tan x > -1`
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उत्तर
माना y = `tan^-1 (("a"cosx - "b"sinx)/("b"cosx - "a"sinx))`
⇒ y = `tan^-1 [(("a"cosx)/("b"cosx) - ("b"sinx)/("b"cosx))/(("b"cosx)/("b"cosx) + ("a"sinx)/("b"cosx))]`
⇒ y = `tan^-1 [("a"/"b" - tanx)/(1 + "a"/"b" tanx)]`
⇒ y = `tan^-1 "a"/"b" - tan^-1 (tanx)` ....`["क्योंकि" tan^-1 ((x - y)/(1 + xy)) = tan^-1x - tan^-1 y]`
⇒ y = `tan^-1 "a"/"b" - x`
x के सन्दर्भ में दोनों पक्षों का अवकलन करना
`"dy"/"dx" = "d"/"dx"(tan^-1 "a"/"b") - "d"/"dx"(x)` = 0 – 1 = – 1
अत: `"dy"/"dx"` = – 1.
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संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
cos (a cos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।
यदि f(x) = `{{:((x^3 + x^2 - 16x + 20)/(x - 2)^2",", x ≠ 2),("k"",", x = 2):}` पर संतत है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि f(x) = `{{:(x sin 1/x",", x ≠ 0),(0",", x = 0):}` द्वारा परिभाषित फलन f, x = 0 पर संतत है।
मान लीजिए कि सभी x ∈ R के लिए, f(x) = x|x| तो x = 0 पर, f (x) की अवकलजता की चर्चा कीजिए।
यदि y = tanx + secx है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"^2y)/("d"x^2) = cosx/(1 - sinx)^2` है।
यदि f(x) = |cos x – sinx| है, तो `"f'"(pi/6)` ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि (x) = f(x) = `{{:(("e"^(1/x) - 1)/("e"^(1/x) + 1)",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}` द्वारा दिया जाने वाला फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत है।
k का वह मान, जो f(x) = `{{:(sin 1/x",", "if" x ≠ 0),("k"",", "if" x = 0):}` द्वारा परिभाषित फलन को x = 0 पर संतत बना दे,
यदि f(x) = `{{:("a"x + 1,"if" x ≥ 1),(x + 2,"if" x < 1):}` संतत है, तो a ______ के बराबर मान होना चाहिए।
cos |x| प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है।
x = a पर f(x) = `{{:(|x - "a"| sin 1/(x - "a")",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = "a"):}`
x = 5 पर f(x) = `{{:(3x - 8",", "यदि" x ≤ 5),(2"k"",", "यदि" x > 5):}`
फलन f(x) = `1/(x + 2)` दिया है। संयोजित फलन y = f (f (x)) में असंतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।
x = 2 पर, f(x) = `{{:(1 + x",", "यदि" x ≤ 2),(5 - x",", "यदि" x > 2):}`
एक फलन f: R → R सभी x, y ∈R, f (x) ≠ 0 के लिए समीकरण f (x +y)=f (x) f (y) को संतुष्ट करता है। मान लीजिए कि यह फलन x = 0 पर अवकलनीय है तथा f ′ (0) = 2 है। सिद्ध कीजिए कि f ′(x) = 2 f (x) है।
`sec^-1 (1/(4x^3 - 3x)), 0 < x < 1/sqrt(2)`
`tan^-1 ((3"a"^2x - x^3)/("a"^3 - 3"a"x^2)), (-1)/sqrt(3) < x/"a" < 1/sqrt(3)`
x = `"e"^theta (theta + 1/theta)`, y= `"e"^-theta (theta - 1/theta)`
tan–1x के सापेक्ष `tan^-1 ((sqrt(1 + x^2) - 1)/x)` को अवकलित कीजिए, जब x ≠ 0.
यदि y = tan–1x, तो केवल y के पदों में `("d"^2y)/("dx"^2)` ज्ञात कीजिए।
`[0, pi/2]` esa f(x) = `sin^4x + cos^4x`
[–1, 1] में f(x) = log(x2 + 2) – log3
[–3, 0] में f(x) = `x(x + 3)e^((–x)/2)`
[1, 4] में f(x) = `1/(4x - 1)`
फलन f(x) = cot x निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है।
यदि f(x) = `{{:("m"x + 1",", "यदि" x ≤ pi/2),(sin x + "n"",", "यदि" x > pi/2):}` बिंदु x = `pi/2` पर संतत है तो
यदि x = t2 और y = t3 है, तो `("d"^2"y")/("dx"^2)` है।
एक ऐसे फलन का उदाहरण जो सभी स्थानों पर संतत है, परंतु ठीक दो बिंदुओं पर अवकलनीय रहने में असमर्थ रहता है ______ है।
त्रिकोणमितीय एवं त्रिकोणमितीय व्युत्क्रम फलन अपने-अपने प्राँतों में अवकलनीय होते हैं।
