Advertisements
Advertisements
प्रश्न
[–3, 0] में f(x) = `x(x + 3)e^((–x)/2)`
Advertisements
उत्तर
हमारे पास, f(x) = `x(x + 3)e^((–x)/2)`
Since बहुपद फलन x(x + 3) और घातांकीय फलन `"e"^((-x)/2)` R में संतत और अवकलनीय हैं, दिया गया फलन, f(x) भी संतत और R में अवकलनीय है
साथ ही f(0) = f(–3) = 0
अतः रोले के प्रमेय की शर्तें संतुष्ट हैं।
इसलिए, एक वास्तविक संख्या c ∈ (–3, 0) इस प्रकार मौजूद है कि f'(c) = 0
अब f(x) = `(x^2 + 3x)"e"^((-x)/2)`
∴ f'(x) = `(2x + 3)"e"^((-x)/2) - 1/2 "e"^((-x)/2) (x^2 + 3x)`
= `- 1/2 "e"^((-x)/2) (x^2 + 3x - 4x - 6)`
= `-1/2 "e"^((-x)/2)(x^2 - x - 6)`
तो, f'(x) = 0
⇒ `- 1/2 "e"^((-x)/2) ("c" + 2)("c" - 3)` = 0
⇒ c = –2 ∈ (–3, 0)
इसलिए, रोले के प्रमेय को सत्यापित किया गया है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`(cos^(-1) x/2)/sqrt(2x+7)`, −2 < x < 2
प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
`cot^(-1) [(sqrt(1+sinx) + sqrt(1-sinx))/(sqrt(1+sinx) - sqrt(1-sinx))], 0 < x < pi/2`
यदि cos y = x cos (a + y) तथा cos a ≠ ±1 है तो सिद्ध कीजिए कि `dy/dx = (cos^2 (a + y))/(sin a)`।
यदि f(x) = `{{:((x^3 + x^2 - 16x + 20)/(x - 2)^2",", x ≠ 2),("k"",", x = 2):}` पर संतत है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
यदि y = `tan^-1 ((3x - x^3)/(1 - 3x^2)), -1/sqrt(3) < x < 1/sqrt(3)` है, तो `("d"y)/("d"x)` ज्ञात कीजिए।
यदि xy = ex–y है, तो सिद्ध कीजिए कि `("d"y)/("d"x) = logx/(1 + logx)^2`
यदि f(x) = |cos x|, है, तो f ′ `((3pi)/4)` ज्ञात कीजिए।
f(x) = `{{:(2x + 3",", "if" -3 ≤ x < - 2),(x + 1",", "if" -2 ≤ x < 0),(x + 2",", "if" 0 ≤ x ≤ 1):}` द्वारा परिभाषित फलन की अवकलनीयता की जाँच कीजिए।
निम्नलिखित का सुमेलन कीजिए-
| स्तंभ-I | स्तंभ-II |
| (A) यदि फलन f(x) = `{((sin3x)/x, "यदि फलन" x = 0),("k"/2",", "यदि फलन" x = 0):}` x = 0 पर संतत है, तो k बराबर है |
(a) |x| |
| (B) प्रत्येक संतत फलन अवकलनीय होता हैं | (b) सत्य |
| (C) एक फलन का उदाहरण, जो प्रत्येक स्थान पर॑ संतत है, परंतु ठीक एक स्थान पर अवकलनीय नहीं है | (c) 6 |
| (D) तत्समक फलन, अर्थात, f (x) = x ∀ ∈x R एक संतत फलन है |
(d) असत्य |
यदि f(x) = `{{:("a"x + 1,"if" x ≥ 1),(x + 2,"if" x < 1):}` संतत है, तो a ______ के बराबर मान होना चाहिए।
|sinx| चर के x के प्रत्येक मान के लिए एक अवकलनीय फलन है।
फलन f(x) = x3 + 2x2 – 1 को x = 1 पर संततता की जाँच कौजिए।
x = 0 पर f(x) = `{{:(("e"^(1/x))/(1 + "e"^(1/x))",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 2 पर f(x) = `{{:((2^(x + 2) - 16)/(4^x - 16)",", "यदि" x ≠ 2),("k"",", "यदि" x = 2):}`
a और b के मान ज्ञात कीजिए जिसके लिये दिया हुआ फलन f(x) = `{{:((x - 4)/(|x - 4|) + "a"",", "यदि" x < 4),("a" + "b"",", "यदि" x = 4),((x - 4)/(|x - 4|) + "b"",", "यदि" x > 4):}`
बिंदु x = 4 पर संतत है।
फलन f(t) = `1/("t"^2 + "t" - 2)`, की असंततता के सभी बिंदु ज्ञात कीजिए, जहाँ t = `1/(x - 1)` है।
दर्शाइए कि फलन f(x) = |sin x + cos x| बिंदु x = π पर संतत है।
`log (x + sqrt(x^2 + "a"))`
sinn (ax2 + bx + c)
sin x = `(2"t")/(1 + "t"^2)`, tan y = `(2"t")/(1 - "t"^2)`
[0, 1] में f(x) = x(x – 1)2
[–1, 1] में f(x) = log(x2 + 2) – log3
माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 2x2 – 5x + 3 पर एक ऐसा बिंदु है जो A(1, 0) और B (2, 1) बिंदुओं के बीच स्थित है तथा उस पर खींची गयी स्पर्श रेखा जीवा AB के समांतर है। साथ ही, वह बिंदु भी ज्ञात कीजिए।
यदि xm . yn = (x + y)m+n है तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = y/x`
यदि y = `x^tanx + sqrt((x^2 + 1)/2)` है, तो `"dy"/"dx"` ज्ञात कीजिए।
यदि f(x) = 2x और g(x) = `x^2/2 + 1` है तो निम्नलिखित में से कौन - सा फलन असंतत हो सकता है?
फलन f(x) = cot x निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है।
फलन f(x) = `"e"^|x|`
