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प्रश्न
x = 0 पर f(x) = `{{:(("e"^(1/x))/(1 + "e"^(1/x))",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
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उत्तर
हमारे पास है, x = 0 पर f(x) = `{{:(("e"^(1/x))/(1 + "e"^(1/x))",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = 0):}`
x = 0 पर
L.H.L. = `lim_(x -> 0^-) ("e"^(1/x))/(1 + "e"^(1/x))`
= `lim_("h" -> 0) ("e"^(1/(0 - "h")))/(1 + "e"^(1/(0 - "h"))`
= `lim_("h" -> 0) ("e"^(1/"h"))/(1 + "e"^(- 1/"h"))`
= `("e"^(- oo))/(1 + "e"^(- oo))`
= `0/(1 + 0)`
= 0
R.H.L. = `lim_(x -> 0^+) ("e"^(1/x))/(1 + "e"^(1/x))`
= `lim_("h" -> 0) ("e"^(1/(0 + "h")))/(1 + "e"^(1/(0 + "h"))`
= `lim_("h" -> 0) ("e"^(1/"h"))/(1 + "e"^(1/"h"))`
= `lim_("h" -> 0) 1/("e"^(-1/"h") + 1)`
= `1/("e"^(-oo) + 1)`
= `1/(0 + 1)`
= 1
इस प्रकार, L.H.L. ≠ R.H.L. x = 0 पर
अतः f(x) x = 0 पर असंतत है।
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x = 2 पर (x) = `{{:((2x^2 - 3x - 2)/(x - 2)",", "यदि" x ≠ 2),(5",", "यदिf" x = 2):}`
x = a पर f(x) = `{{:(|x - "a"| sin 1/(x - "a")",", "यदि" x ≠ 0),(0",", "यदि" x = "a"):}`
x = 1 पर f(x) = |x| + |x − 1|
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सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",", x ≠ 0),("k", x = 0):}` से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।
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