मराठी

Sin x = tt2t1+t2, tan y = tt2t1-t2

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प्रश्न

sin x = `(2"t")/(1 + "t"^2)`, tan y = `(2"t")/(1 - "t"^2)`

बेरीज
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उत्तर

यह देखते हुए कि sin x = `(2"t")/(1 + "t"^2)` और tan y = `(2"t")/(1 - "t"^2)`

∴  sin x = `(2"t")/(1 + "t"^2)`  लेना

दोनों पक्षों को w.r.t t, से अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

`cosx* "dx"/"dt" = ((1 + "t"^2) * "d"/"dt" (2"t") - 2"t" * "d"/"dt" (1 + "t"^2))/(1 + "t"^2)^2`

⇒ `cosx * "dx"/"dt" = (2(1 + "t"^2) - 2"t" * 2"t")/(1 + "t"^2)^2`

⇒ `"dx"/"dt" = (2 + 2"t"^2 - 4"t"^2)/(1 - "t"^2)^2 xx 1/cosx`

⇒ `"dx"/"dt" = (2 - 2"t"^2)/(1 + "t"^2)^2 xx 1/sqrt(1 - sin^2x)`

⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx 1/sqrt(1 - ((2"t")/(1 + "t"^2))^2`

⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx 1/(sqrt((1 + "t"^2)^2 - 4"t"^2)/(1 + "t"^2)^2)`

⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx (1 + "t"^2)/sqrt(1 + "t"^4 + 2"t"^2 - 4"t"^2)`

⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx 1/sqrt(1 + "t"^4 - 2"t"^2)`

⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx 1/sqrt((1 - "t"^2)^2`

⇒ `"dx"/"dt" = (2(1 - "t"^2))/(1 + "t"^2)^2 xx 1/((1 - "t"^2))`

 ⇒ `"dx"/"dt" = 2/(1 + "t"^2)`

अब लेना, tan y = `2/(1 - "t"^2)`

दोनों पक्षों को w.r.t, t, से अलग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

`"d"/"dt" (tan y) = "d"/"dt" ((2"t")/(1 - "t"^2))`

⇒ `sec^2y  "dy"/"dt" = ((1 - "t"^2) * "d"/"dt" (2"t") - 2"t" * "d"/"dt" (1 - "t"^2))/((1 - "t"^2)^2`

⇒ `sec^2y "dy"/"dt" = ((1 - "t"^2) * 2 - 2"
t" * (-2"t"))/(1 - "t"^2)^2`

⇒ `sec^2y "dy"/"dt" = (2 - 2"t"^2 + 4"t"^2)/(1 - "t"^2)^2`

⇒ `"dy"/"dt" = (2 + 2"t"^2)/(1 - "t"^2)^2 xx 1/sec^2y`

⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx 1/(1 + tan^2y)`

⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx 1/(1 + ((2"t")/(1 - "t"^2))^2`

⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx 1/(((1 - "t"^2)^2 + 4"t"^2)/(1 - "t"^2)^2)`

⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx (1 - "t"^2)^2/(1 + "t"^2 + 2"t"^2 + 4"t"^2)`

⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx (1 - "t"^2)^2/(1 + "t"^4 + 2"t"^2)`

⇒ `"dy"/"dt" = (2(1 + "t"^2))/(1 - "t"^2)^2 xx (1 - "t"^2)^2/(1 + "t"^2)^2`

⇒ `"dy"/"dt" = 2/(1 + "t"^2)`

∴ `"dy"/"dt" = ("dy"/"dt")/("dx"/"dt")`

= `(2/(1 + "t"^2))/(2/(1 + "t"^2))`

= 1

अत: `"dy"/"dt"` = 1

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सांतत्य तथा अवकलनीयता
  या प्रश्नात किंवा उत्तरात काही त्रुटी आहे का?
पाठ 5: सांतत्य और अवकलनीयता - प्रश्नावली [पृष्ठ १०८]

APPEARS IN

एनसीईआरटी एक्झांप्लर Mathematics [Hindi] Class 12
पाठ 5 सांतत्य और अवकलनीयता
प्रश्नावली | Q 47 | पृष्ठ १०८

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प्रदत्त फलन का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-

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x = 1 पर f(x) = |x| + |x − 1|


सिद्ध कीजिए कि f(x) = `{{:(x/(|x| + 2x^2)",",  x ≠ 0),("k",  x = 0):}`  से परिभाषित फलन f बिंदु x = 0 पर असंतत रहता है, चाहे k का कोई भी मान लिया जाए।


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दर्शाइए कि x = 5 पर, f(x) = |x – 5| संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं है।


`sin sqrt(x) + cos^2 sqrt(x)`


`sin^-1  1/sqrt(x + 1)`


`cos^-1 ((sinx + cosx)/sqrt(2)), (-pi)/4 < x < pi/4`


यदि x = ecos2t और y = esin2t तो सिद्ध कीजिए कि `"dy"/"dx" = (-y log x)/(xlogy)` है।


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[–3, 0] में f(x) = `x(x + 3)e^((–x)/2)`


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मान लीजिए f(x) = |sin x| है, तब


वक् `sqrt(x) + sqrt(y)` = 1 के लिए, `(1/4, 1/4)` पर `"dy"/"dx"` ______


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