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प्रश्न
x = 2 पर, f(x) = `{{:(x[x]",", "यदि" 0 ≤ x < 2),((x - 1)x",", "यदि" 2 ≤ x < 3):}`
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उत्तर
हम जानते हैं कि एक फलन f अपने प्रांत में एक बिंदु ‘a’ पर अवकलनीय होता है यदि
Lf'(x) = Rf'(c)
जहाँ Lf'(c) = `lim_("h" -> 0) ("f"("a" - "h") - "f"("a"))/(-"h")` और Rf'(c) = `lim_("h" -> 0) ("f"("a" + "h") - "f"("a"))/"h"`
यहाँ, x = 2 पर f(x) = `{{:(x[x]",", "यदि" 0 ≤ x < 2),((x - 1)x",", "यदि" 2 ≤ x < 3):}`
Lf'(c) = `lim_("h" -> 0) ("f"(2 - "h") - "f"(2))/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ((2 - "h")[2 - "h"] - (2 - 1)2)/(-"h")`
= `lim_("h" -> 0) ((2 - "h") * 1 - 2)/(-"h")` ....[∵ [2 – h] = 1]
= `lim_("h" -> 0) (2 - "h" - 2)/(-"h")`
= 1
Rf'(c) = `lim_("h" -> 0) ("f"(2 + "h") - "f"(2))/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ((2 + "h" - 1)(2 + "h") - (2 - 1)*2)/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ((1 + "h")(2 + "h") - 2)/"h"`
= `lim_("h" -> 0) (2 - "h" + 2"h" + "h"^2 - 2)/"h"`
= `lim_("h" -> 0) (3"h" + "h"^2)/"h"`
= `lim_("h" -> 0) ("h"(3 + "h"))/"h"`
= 3
Lf"(2) ≠ Rf'(2)
इसलिए, x = 2 पर f(x) अभेद्य नहीं है।
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